Приближенное вычисление определенных интегралов

   Если разложение в ряд по степеням х в интервале сходимости (– R, R) включает в себя отрезок [ a, b ], то для вычисления данного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этогоряда. Ошибку вычислений определяют так же, как и при вычислении значений функции. 

Пример 37. Вычислить интегралSi(x)=  (интегральный синус).

• Имеем: sin t = t –  +  –  + …, –∞ < t <∞.

Далее, =1 –  +  –  + ….

Следовательно, Si(x)= =  = x –  +  –  + …, –∞ < x <∞.

Пример 38. Вычислить интеграл с точностью до ε = 0,001.

• Имеем: = 1 – +  –  + …, –∞ < x <∞.

Интегрируя обе части этого равенства на отрезке [0, 1/4], получим

=  = =

= – + –  + …, –∞ < x <∞, – ряд лейбницевского типа.

Т.к. ≈ 0,0052 > 0,001, а ≈ 0,0001 < 0,001, то с точностью до 0,001 имеем

≈  – = 0,245.