Условия сходимости ряда Фурье

Ряд Фурье интегрируемой функции f (x) может либо расходиться, либо сходиться, причем как к функции 

f (x), так и к функции, отличной от нее. Условия сходимости ряда Фурье были установлены немецким математиком Дирихле.  

Теорема Дирихле.    Если функция f (x) непрерывна или имеет конечное число точек разрыва на отрезке

[- π, π ] и при этом монотонна или имеет конечное число экстремумов на [- π, π ], то ряд Фурье функции 

f (x) сходится для любых х из [- π, π ] и его сумма равна:

1) f (x) для всех точек непрерывности х из интервала (- π, π);

2) (f (x ₀ – 0) + f (x ₀ + 0)) для всех точек разрыва x ₀; 

3) (f (– π + 0) + f (π – 0)) при х = – π и х = π.  

 

Пример 41. Разложить в ряд Фурье 2 π - периодическую функцию f (x) = π + x, x (- π, π ] (см. рис.).

• Заданные функции кусочно-монотонны на промежутке (- π, π ], поэтому ее

можно представить рядом Фурье. Т.о.,задача сводитсяк нахождению

коэффициентов Фурье.

a ₀= = = = 2 π.

a_n = = = =

              = = 0.

b_n = = = =

              = = – = (–1) ^{n + 1}.

  Подставив найденные коэффициенты в ряд (2), получимf (x) = π + 2 sin nx.

Это равенство справедливо для всех точек непрерывности заданной функции, т.е. прих ≠ ±(2 n – 1) π, n N.   

В точках  ±(2 n – 1) π сумма ряда Фурье равняется π (полусумме односторонних границ в этих точках).

Пример 42. Разложить в ряд Фурье 2 π - периодическую функцию f (x) =  (см. рис.).

• a ₀= = = = .

a_n = = = .

b_n = = – = .

Т.о., ряд Фурье заданной функции имеет вид f (x) = +  =

  = – + .

    Найденный ряд сходится к функции f (x) при всех х ≠ ±(2 n – 1) π, n N. В точках х = ±(2 n – 1) π сумма ряда

Фурье равняется (полусумме односторонних границ в этих точках).

Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Пусть f (x) – четная функция (f (– x) = f (x), х [- π, π ]). Тогда b_n = 0 (n = 1, 2, …), и, следовательно, четная функция разлагается в ряд Фурье по косинусам:   

f (x)= + , 

где                 а ₀ = ,      а_n = , (n = 1, 2, …).           (3)

Аналогично, нечетная функция f (x)(f (– x) = – f (x), х [- π, π ]) разлагается в ряд Фурье по синусам:  

f (x)= , 

где                                    b_n = , (n = 1, 2, …).(4)

Пример 43. Разложить в ряд Фурье 2 π - периодическую функцию f (x) = |x |, x [- π, π ] (см. рис.).

• Т.к. функцияf (x) четная, то

a ₀= = = = π.

a_n = = = = ((–1) ⁿ – 1); b_n = 0.

f (x) = +  = – .

Пример44. Разложить в ряд Фурье 2 π - периодическую функцию f (x) =   (см. рис.).

• Т.к. функция f (x) нечетная, тоa ₀=0; а_n =0.   

b_n = = = – = –  ((–1) ⁿ – 1).

f (x) =  = .

   Это равенство справедливо во всех точках x (- ∞, + ∞), кроме точек разрыва. В точках разрыва

х =0, ± π, ±2 π, ±3 π, … сумма найденного ряда равна нулю.