Комплексная запись ряда Фурье

f (x) = , c_n = , n = 0, ±1, ±2, …

При получении комплексных коэффициентов Фурье используются формулы Эйлера:

e^inx = cos nx + i sin nx,  e^–inx = cos nx – i sin nx,

из которых получаем:cos nx = , sin nx = = i .

 

- 2 π

-π

2 π

π

O

x

Пример 48. Разложить в комплексный ряд Фурье функцию периода 2 π

f (x) = .

• Имеем:

c_n = =  =  = = = =

          = i = или, короче, c _{2 n –1} = – , c _{2 n} = 0.

           Подставляя значенияc_nв ряд Фурье, получимf (x) = = , – π < x < 0, 0 < x < π.

Таблица разложения некоторых функций в ряд Фурье

1. y = x, – π < x < π: y = 2 .

2. y = | x |, – π < x < π: y = – .

3. y = x, 0 ≤ x ≤ 2 π:    y = π – 2 .

4. y = : y = .

5. y = a > 0: y = .

6. y = : y = –2· .

7. y = a >0, 0< α < : y = .

8. y = x ², – π < x < π:                 y = – 4· .

9. y = : y =2 π · – · .

10. : y = – .

11. : y = .

12. y = ax ² + bx + c, – π < x < π: y = + c + 4 a – 2 b .

13. y = | sin x|, – π ≤ x ≤ π:                 y = – · .

14. : y = .

15. y = : y = + sin x – · .

16. : y = .

17. : y = .

18. y = x cos x, – π < x < π: y = .

19. y = x sin x, – π ≤ x ≤ π: y = 1 –2· .

20. y = e^ax, – π < x < π: y = sh aπ .

 

Разложение различных периодических функций нередко можно получить путем изменения масштаба разложения табличных функций как по оси Ох, так и по оси Оу.

Пример 49. Найти разложение вряд Фурье периодической функции y = x +1, 0 < x < 2Tcпериодом 2T.

• Сделаем замену переменных Y= , X= ,  при которой наша функция преобразуется к

виду Y= Х, – π <Х< π, с периодом 2 π.Эта функция имеет разложение в ряд Фурье (см. п. 1 таблицы)

Y = 2 .

Возвращаясь к старым координатам, получим:

 = 2 .

Т.о., y =(T+1) –

Пример 50. Найти разложение в ряд Фурье периодической функции y = x, 0 < x ≤ 2 π cпериодом 2 π.

•Y= y – π, X= x – π   => при которой наша функция преобразуется к виду Y=Х, – π <Х< π, с периодом 2 π.Эта функция разлагается в ряд Фурье (см. п. 1 таблицы)Y = 2 .

Возвращаясь к старым координатам, получим: y – π = 2 .

Т.о., y = π – 2 .