Представление непериодической функции рядом Фурье

Четное и нечетное продолжение функции

Пусть f (x) – непериодическая функция, заданная на всей числовой оси (–∞ ≤ х ≤ ∞). Такая функция не может быть разложена в ряд Фурье, т.к. сумма ряда Фурье есть функция периодическая и, следовательно, не может быть равна f (x) для всех х.

Однако, непериодическая функцияf (x) может быть представлена

в виде ряда Фурье на любом конечном промежутке [ a; b ],

на котором она удовлетворяет условиям Дирихле. Для этого можно

поместить начало координат в середину отрезка [ a; b ] и построить Рис.1.

функцию f ₁(x) периода T = 2 l = | b – a | такую, что f ₁(x) = f (x)

при –l ≤ x ≤ l (см. рис.1).

Разлагаем функцию f ₁(x) в ряд Фурье. Сумма этого ряда

во всех точках отрезка [ a; b ] (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией f (x). Вне этого промежутка сумма ряда и f (x) являются совершенно различными функциями.

На практике поступают несколько иначе: начало координат переносится

в точку х = а отрезка [ a; b ]. Область определения функции f (x) будет

иметь вид [0; l ], где l = | b – a |. Такую функцию можно произвольным

образом доопределить на отрезке [ –l; 0], а затем осуществить ее

периодическое продолжение с периодом T = 2 l. Разложив в ряд Фурье Рис.2.

на отрезке [ –l; l ] полученную таким образом периодическую функцию f ₁(x),

получим искомый ряд для функции f (x) при х [0; l ].

В частности, функциюf (x) можно доопределить на отрезке [ –l; 0]

четным образом (рис.2). В этом случае функцияf (x) разлагается в ряд

Фурье, который содержит только косинусы.

Если же функциюf (x) продолжитьна отрезке [ –l; 0] нечетным Рис.3.

образом (рис.3), то она разлагается в ряд, состоящий только из синусов.

Ряд косинусов и синусов для функции f (x), заданной на отрезке [0; l ], имеют одну и ту же сумму. Если х ₀ – точка разрыва функции f (x), то сумма как одного, так и другого ряда равна одному и тому же числу: S (х ₀) = .