Замена переменных в кратных интегралах

Тройной интеграл.

1º. Мера Жордана в пространстве .

Рассмотрим разбиение пространства на кубы  ранга  с помощью плоскостей , , , . Обозначим  количество кубов  ранга, содержащихся во множестве  и  −  количество кубов  ранга, пересекающихся с множеством . Пусть ещё .

Определение. ВнутреннеймеройЖордана множества  называется величина . Внешней мерой Жордана множества  называется величина . Множество  называется измеримым по Жордану или кубируемым, если . Их общее значение  называется просто мерой этого множества или его о бъёмом.

2º. Определение тройного интеграла. Пусть −  кубируемое, ограниченное множество и  − функция, определенная на этом множестве. Рассмотрим разбиение  на неперекрывающиеся кубируемые подмножества и выберем точки . Обозначим  − объём множества  и  диаметр этого множества. Назовем мелкостью разбиения  величину . Образуем интегральную сумму Римана .

Определение. Если существует предел , то функция  называется интегрируемой по Риману на множестве , в записи − , а сам предел называется тройным интегралом и обозначается  или .

Точно так же, как в одномерном и двумерном случаях, формулируются и доказываются критерий интегрируемости, теорема о существования тройного интеграла от непрерывной функции и основные свойства интеграла. Отметим только, что средним интегральным в трёхмерном случае называют величину

.

Замечание. По той же схеме определяется мера Жордана и интеграл в пространстве  при любом натуральном .

3º. Сведение кратных интегралов к повторным интегралам.

Пусть , ;  − сечение множества  гиперплоскостью  и пусть  − проекция  на подпространство  (т.е. на подпространство первых координат).

Теорема. Пусть существует интеграл  и пусть при любом значении  существует интеграл по сечению . В таком случае существует повторный интеграл . При этом .

Отметим частные случаи, когда : 1)  и 2) .

 

 

Замена переменных в кратных интегралах.

1˚. Перед тем как сформулировать правило замены переменных в кратных интегралах, напомним это правило в одномерном случае.

Рассмотрим гладкое отображение (замену переменной) . Будем считать, что , причём  не обращается в нуль на отрезке . Пусть еще , . Тогда .

Теорема. Пусть  − область с кусочно-гладкой границей и , где ,  − взаимно однозначное отображение класса , причем якобиан этого отображения  не обращается в нуль в области . Пусть ещё . Тогда

.

Эту формулу можно объяснить следующим образом. Из линейной алгебры известно, что , где  − линейный оператор , показывает, во сколько раз изменяется объём любого параллелепипеда (и, значит, любого тела) под действием оператора . Отсюда нетрудно вывести, что модуль определителя Якоби отображения  представляет собой коэффициент искажения объёма бесконечно малой окрестности точки под действием этого отображения.

2˚. Криволинейные координаты в области  задаются с помощью гладкого взаимно однозначного отображения , для которого якобиан  не обращается в нуль . Координатной линией  называются образ линии , вдоль которой изменяется только координата .

В качестве примера криволинейных координат рассмотрим полярные координаты на плоскости. В этом случае  − полярный радиус точки , отсчитываемый от полюса O,  − полярный угол, отсчитываемый от полярной оси. Если ,  − координаты точки в правой прямоугольной декартовой системе координат, где ось  совпадает с полярной осью, то . Линии  − лучи, выходящие из точки , линии  − окружности с центром в этой точке.

 

Вернёмся к общему случаю. По касательной к линии  в заданной точке идёт вектор , который мы будем коротко записывать . Длина этого вектора называется   коэффициентом Ламэ и обозначается . По предыдущему , т.е.  − коэффициент искажения длины вдоль линии . В таком случае  − единичный касательный вектор к линии . Набор векторов  называется подвижным репером. Он, вообще говоря, зависит от точки, в которой вычислены все эти векторы. Если подвижный репер в каждой точке образует ортогональную систему векторов, то криволинейные координаты называются ортогональными.

Имеем . В ортогональном случае из этой формулы, в частности, следует, что

.

Таким образом, в случае перехода от прямоугольных декартовых координат к ортогональным криволинейным координатам коэффициент искажения объёма равен произведению коэффициентов искажения длины вдоль координатных направлений.

3˚. Важные примеры криволинейных координат.

1. Полярные координаты. Выше уже были описаны полярные координаты и их связь с прямоугольными декартовыми координатами. Коэффициенты Ламэ легко вычисляются, исходя из их геометрического смысла: , .

Подвижный репер состоит из взаимно ортогональных векторов . Следовательно, полярные координаты представляют собой ортогональную криволинейную систему координат. Поэтому , иначе говоря, .

2. Обобщенные полярные (эллиптические) координаты. По определению они вводятся формулами . Координатными линиями являются эллипсы  и лучи . Система − косоугольная. Здесь  или .

3. Цилиндрические координаты в пространстве.Так называются величины , где  совпадает с соответствующей декартовой координатой  точки , а  − полярные координаты точки , являющейся проекцией  на плоскость . Здесь . Линии  − лучи, расходящиеся от оси  под прямым углом к ней. Линии  − окружности с центром на си , лежащие в плоскостях . Линии  − прямые, параллельные оси . Координатные поверхности: полуплоскости , начинающиеся с оси , плоскости , наконец, цилиндры  (давшие название системе). Коэффициенты Ламэ: . Данная система является ортогональной. , т.е. .

 

4. Сферические координаты в пространстве.Так называются величины , где  − расстояние точки  от начала координат;  − широта и долгота точки; . При этом , или . Линии  − лучи, выходящие из начала координат; линии  − меридианы; линии  − параллели. Координатные поверхности – сферы , конусы  и полуплоскости , начинающиеся с оси . Коэффициенты Ламэ: , , . Так как сферическая система является ортогональной, то , .

 

Приложения кратных интегралов.

1˚. Геометрические приложения.