Понятие парной регрессии

ПРЕДМЕТ ЭКОНОМЕТРИКИ

 

Эконометрика – это наука, которая дает ко­личественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов.

Предмет изучения эконометрики – взаимосвязи экономических явлений.

Приводимые ниже определения и высказывания известных ученых позволяют получить представление о различных толко­ваниях эконометрики.

Эконометрика – это раздел экономики, занимающийся разра­боткой и применением статистических методов для измерений взаимосвязей между экономическими переменными (С. Фишер).

Основная задача эконометрики – наполнить эмпирическим со­держанием априорные экономические рассуждения (Л. Клейн).

Цель эконометрики – эмпирический вывод экономических за­конов (Э. Маленво).

Эконометрика является не более чем набором инструментов, хотя и очень полезных... Эконометрика является одновременно на­шим телескопом и нашим микроскопом для изучения окружающего экономического мира (Ц. Грилихес).

Эконометрика есть единство трех составляющих – статистики, экономической теории и ма­тематики (Р. Фриш).

Эконометрика объединяет сово­купность методов и моделей, позволяющих на базе экономиче­ской теории, экономической статистики и математика-статистического инструментария придавать количественные выражения качественным зависимостям (С.А. Айвазян).

Эконометрика – это любое при­ложение математики или статистических методов к изучению экономических явлений (Э. Маленво).

Эконометрика занимается определением наблюдаемых в экономической жизни конкретных количественных закономерностей, применяя для этой цели ста­тистические методы (О. Ланге).

Термин «эконометрика» («эконометрия») был впервые введен бухгалтером П. Цьемпой (Австро-Венгрия, 1910 г.), который считал, что если к данным бухгалтерского уче­та применить методы алгебры и геометрии, то будет получено но­вое, более глубокое представление о результатах хозяйственной деятельности.

Слово «эконометрика» представляет собой комбинацию двух слов: «экономика» и «метрика» (от греч. «метрон»). Сам термин подчеркивает специфику, содержание эконо­метрики как науки: количественное выражение тех связей и соот­ношений, которые раскрыты и обоснованы экономической тео­рией. И. Шумпетер (1883–1950), один из первых сторонников выделения этой новой дисциплины, полагал, что в соответствии со своим назначением эта дисциплина должна называться «экономометрика». Советский ученый А.Л. Вайнштейн (1892–1970) считал, что название настоящей науки основывается на гречес­ком слове метрия (геометрия, планиметрия и т. д.), соответствен­но по аналогии – эконометрия. Однако в мировой науке общеупотребимым стал термин «эконометрика». В любом случае, ка­кой бы мы термин ни выбрали, эконометрика является наукой об измерении и анализе экономических явлений.

ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ

Понятие парной регрессии

 

Термин регрессия был предложен основоположниками корреляционного анализа Ф. Гальтоном (1822–1911) и К. Пирсоном (1857–1936).

Парная регрессия – уравнение связи двух переменных у и х:

,

где у – математическое ожидание (наиболее вероятное, среднее) зависимой переменной (результативного признака), случайная величина; х – независимая, объясняющая переменная (факторный признак или просто фактор), неслучайная величина.

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессия:

,

(2.1)

где – теоретическое значение результативного признака у, найденное по уравнению регрессии

;

(2.2)

– случайная величина, характеризующая отклонение реального значения результативного признака y от теоретического ;  и – параметры уравнения.

Параметр  может не иметь экономического содержания, и он показывает среднее значение результативного признака при отсутствии факторного признака.

Параметр  называют выборочным коэффициентом регрессии, и он показывает, на сколько единиц изменится в среднем результативный признак при изменении факторного признака на одну единицу.

Знак «+» или «–» параметра  зависит от характера связи между у и х. Связь называют прямой, если при увеличении х увеличивается у (или при уменьшении х уменьшается у). При этом . Связь называют обратной, если при увеличении х уменьшается у (или при уменьшении х увеличивается у). При этом .

Нелинейные регрессии делят на два класса:

· регрессии, нелинейные по объясняющим переменным, но линейные по оцениваемым параметрам:

§ полиномы разных степеней ;

§ равносторонняя гипербола .

· регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

§ степенная ;

§ показательная ;

§ экспоненциальная .

 

2.2. Оценка параметров линейной регрессии
методом наименьших квадратов

 

Построение уравнения регрессии сводится к оценке его парамет­ров  и . Оценка заключается в расчёте числовых значений этих параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК), разработанный К.Ф. Гауссом (1777–1855). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических  минимальна:

.

(2.3)

Для отыскания значений параметров  и , при которых функция  принимает минимальное значение, необходимо найти и приравнять к нулю частные производные  и :

; .

Разделив обе части уравнений на 2, раскрыв скобки, выполнив перегруппировку и положив , получают следующую систему нормальных линейных уравнений относительно  и :

Разделив обе части уравнений системы на n и обозначив  получим:

(2.4)

Из первого уравнения системы (2.4) выразим параметр :

.

(2.5)

Подставляя (2.5) во второе уравнение системы (2.4), получаем формулу для :

.

(2.6)

Систему (2.4) можно упростить, используя понятие средних значений:

Первое уравнение этой системы  называют уравнением регрессии в средних значениях. Оно показывает, что линия регрессии проходит через точку с координатами , соответствующую средним значениям результативного признака у и факторного признака х. Если из этого уравнения выразить  и подставить его в уравнение (2.2), получим уравнение регрессии в отклонениях

.

(2.7)

Начало координат при этом переместится в точку с координатами , а линия регрессии останется без изменений.