Понятие множественной регрессии

Парная регрессия может дать хороший результат при модели­ровании, если влиянием других факторов на объект исследования, можно пренебречь. Например, при постро­ении модели потребления некоторого товара от дохода предполагают, что в каждой группе дохода одинаково влияние на потребление таких факторов, как цена товара, размер семьи и ее состав. Однако справедливость данного предположения неочевидна. Для получения правильного представление о влиянии дохода на по­требление, необходимо изучить их корреляцию при неизменном уровне других факторов. Прямой путь решения такой задачи со­стоит в отборе единиц совокупности с одинаковыми значениями всех других факторов, кроме дохода. Для этого в химиче­ских, физических, биологических исследованиях применяют метод планирова­ния эксперимента. Но в экономике поведение отдельных экономи­ческих переменных контролировать нельзя, поэтому не удается обес­печить равенство всех прочих условий для оценки влияния одно­го исследуемого фактора. Тогда следует попытаться выявить влияние других факторов, т. е. пост­роить уравнение множественной регрессии

.

(3.1)

В данном уравнении каждый коэффициент регрессии  показывает, на сколь­ко единиц изменится величина результативного фактора у при изменении соответствующего фактора  на одну единицу при неизменном среднем уровне прочих факторов.

Уравнение такого вида можно использовать, например, при изучении потребления. Тогда коэффициенты  будут частными производными потребления у по соответствующим факторам :

.

(3.2)

Множественную регрессию используют в решении проблем спроса, доходности акций, при изучении функции из­держек производства, в макроэкономических и в других расчетах. Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также их совокупное воздействие на результативный признак. Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требова­ниям:

1)  они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий ко­личественного измерения, то ему нужно придать количествен­ную определенность (например, в модели урожайности качество почвы задают в виде баллов; в модели стоимости объектов не­движимости учитывают район нахождения недвижимости, а рай­оны предварительно ранжируют);

2)  факторы не должны быть интеркоррелированы и не должны находиться в точной функциональной связи.

Включение в модель

(3.3)

факторов с высокой интеркорреляцией, т. е. когда , может привести к тому, что система нормальных уравнений будет плохо обусловлена и оценки коэффициентов регрессии окажутся неустойчивыми и ненадежными.

Если между факторами существует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированное влияние на результативный признак и параметры уравнения регрессии оказываются не­интерпретируемыми. Так, в уравнении (3.3) предполагают, что факторы  и  независимы друг от друга, т. е. . Тогда можно говорить, что параметр  измеряет си­лу влияния фактора  на результативный признак у при неизменном значении фактора . Если же , то с изменением фактора  фактор  не может оставаться неизменным и коэффициенты  и  нельзя интер­претировать как показатели раздельного влияния  и  на у.

Включаемые во множественную регрессию факторы должны объяснить вариацию результативного признака. Если строят модель с набором р факторов, то для нее рассчитывают показа­тель детерминации , который фиксирует долю объясненной ва­риации результативного признака за счет рассматриваемых в ре­грессии р факторов. Влияние других не учтенных в модели фак­торов оценивают как  с соответствующей остаточной дис­персией .

При дополнительном включении в регрессию -го фактора коэффициент детерминации  должен возрастать, а остаточная дисперсия – уменьшаться:

и

Если этого не происходит и данные показатели практиче­ски мало отличаются друг от друга, то включаемый в анализ фак­тор  не улучшает модель и практически является лишним фактором. Например, если для регрессии, включающей пять факторов, коэффициент детерминации составлял  и включение ше­с­то­го фактора дало коэффициент детерминации , то включать в модель этот шестой фактор не це­лесообразно.