Принцип максимума модуля

Лемма: Знач-ие голоморф. в обл. G ф-ии f в любой т. z равно среднему арифм. ее значений на любой окр-ти Г с центром z, принадл. вместе с внутренностью обл. G.

Теорема 1: Если ф. f голоморф. в обл. G с С_z и модуль |f| достигает локал. максимума в нек. т. z₀ _,то ф. f=const в G.

Док-во: Положим |f(z₀)|=M, очевидно, 0≤M< . Выберем число так, чтобы круг U(z₀, ) вместе с границей лежал в G и чтобы |f(z)|≤M в замыкании z . В случ. M=0 имеем f=0,и, согласно принципу единств-и, f=0 в G. Пусть M>0. Рассужд. от прот-го, покаж., что |f|=M в . Предпол., что в имеется некот. т. , где 0<r< , 0≤t₀≤ 2 , в кот. |f(z^*)|<M, тогда в виду непрер-ти )| т., что на T₁=[t₀- , t₀+ ] выполн. нер-во . Кроме того, ф, 0≤ ≤ M на дополн. T₂= [t₀+ , t₀- +2 ]. Используя теор. о среднем для голоморф. ф-ции, имеем f(z₀)= . Откуда Полученное противоречие доказ., что |f|=M в U(z₀,

Следствие1: Максимум |f|, голоморф. в обл. и непрер. в ее замыкании, может достигаться только на границе этой обл., при усл-иии, что f(z)≠const.

Следствие 2(Вейерштрасса): Пусть дан ряд f₁(z)+…+f_n(z)+… (1) все члены кот.- ф-ции, голоморф. в обл. G и непрер. в G, тогда если ряд (1) сход. равном. на границе обл. G , то он сход-ся также равномер. на замкн. обл. .

22. Нули голоморф.ф-и. Порядок нуля. Изолированность нулей голоморф.ф-и.

Опр. Если ф-яголоморфн. в обл-ти , то кажд. т. , в кот. , наз. нулем ф-ии.

Утв. замкнут.огранич. подмн-во обл-тиG, в кот. ф-я fголоморф. и , может содерж. лишь конечное число нулей ф-и f.

Док-во. Д-но, предположение по -ти мн-ва нулей приводит к -ию в Gхотя бы 1-й предел. т. мн-ва ф-и fи, сл-но, к рав-вуf=0.

Утв. Мн-во нулей голоморф.вG ф-ии (fкак эл-т, вектор), конечно или счетно.

Док-во. Обл-тьGможно представ. в виде объединения замкн. мн-в , , где – расст. от zдо . Т.к. в кажд. мн-во нулей ф. fконечно, то в Gоно конечно или счетно.

Опр. Пусть fголоморф.вобл-тиG, , –т. обл-тиG, . Число mназ. порядком (кратностью) нуля ф-ииf, если ее разложение в ряд Тейл. в окр. т. имеет вид: (, . Очев, что т. явл. нулем пор-ка m голоморф.ф. fтиттк , .

Пример. Т. явл. для ф-ииsinz-z нулем пор-ка 3, а т. для ф-ииsinzнулем пор-ка 1. Опр. При m=1 нуль ф. f наз. простым.

Утв. Голоморф.ф., имеющая нули, либо тожд. нулю, либо ее нули – изолир. т. (без док-ва).

23. Представление рядом Лорана ф-и, голоморф.в кольце. Интегральные ф-лы Коши для коэфф-в ряда Лорана.

Теор. 1. Пусть ф-я fголоморф.в кольце , , , тогда в Kф. fпредставима в виде суммы f=S+T, где S(z) – сумма степ. ряда , сходящ. в круге , а –сумма ф-ии ряда , сходящ. вне замыкания круга . Коэф. этих рядов выраж. ф-лой: (1), где .

Док-во. Зафикс. т. и возьмем числа так, что выполн. . Пусть соотв-но внутр. и внешн. граничн. окр-ти кольца . Пусть – окр-ть с центр. в т. z, леж. внутри . Т.к. явл. голоморф. ф. от в обл-ти К, исключая т. , то по интегр. т. Коши для остального контура имеем , откуда , где , . Разложим подынтегр. ф. в 1-м из интегралов по полож, а во 2-м – по отриц. степеням разности : ; . Получ. ряды сход.равном. соотв-но на , , т.к. при , и при , , поэтому после почленного интегрир. рядов получ. разлож. , с коэф-ами: , . Ряд с суммойS(z) сход.в круге , а ряд с сум. T(z) сход-ся вне замык. круга . Т.к. ф-я при голоморф.при , то в силу интегр. т. Коши о составном конт., интегрирование по и в ф-лах и можно заменитьинтегрир-ем по окр-ти с центр. в т. , лежащей в кольце К. 1-й ряд в теор. 1 S(z) –обыкн. степ. ряд и изображ. ф-ю f, голоморф. в круге . 2-й ряд T(z) можно рассм. как обыкн. степ.ряд, если , . В новых обозначениях ряд примет вид (3). Ряд (3) сход.при и изображ. ф. перем. t и голоморф. при . Возвращаясь к перем. z, видим, что ряд T(z) изобр. T(z), голом. вне замкн. круга . Преставл. голоморф.ф. с коэф.

(1) можно запис. короче .

24. Ряд Лорана, его правильная и главная части. Единственность ряда Лорана.

[ P.S. Теор. 1. Пусть ф-я fголоморф.в кольце , , , тогда в Kф. fпредставима в виде суммы f=S+T, где S(z) – сумма степ. ряда , сходящ. в круге , а –сумма ф-ии ряда , сходящ. вне замыкания круга . Коэф. этих рядов выраж. ф-лой: (1), где . ]

Опр. Разлож. (откуда получилось – см. билет 22) по целым степеням наз. рядом Лорана ф. fв кольце К. СуммаS(z) с неотриц. степенями наз. его правильной частью, а сумма T(z) с отриц. степенями – главной частью.

Теор. В данном круговом кольце голоморф.ф. f(z) единств. образом разлагается в ряд Лорана.

Док-во. Пусть (5) на окр-ти , где . Ряд (5) сход.равном. Умножив (5) на , получ. . Здсеь ряд также сход.равномерно на , поэтому, интегрир. его почленно на , получ: , что совпад. с (1).

25. Прав.иизолиров. особые т. голоморф. ф-и. Критерий прав.т. Классификация особых изолир. т-к. Ряд Лорана в окрестности особ.т.

Пусть ф-я f(z) явл. голоморф.внекот. окр-ти .

Опр. 1. Если такое, что, положив , получ. ф-ю f(z), голоморф.во всем круге , то т. наз. правильной т. ф. f(z). Если такого числа не , то т. наз. изолир. особ.т. для ф. f(z).

Теор. Для того, чтобы ф. f(z), голоморф.в была правильн. в т. , необх. и достат., чтобы окр-ть Uт. , в кот. f(z) огранич. по модулю.

Док-во. Необх. очевидна. Достат. – много.

Следствие. Чтобы т. была изолир. особ. т. f(z) необх. и достат., чтобы в ееокр-ти|f(z)| был неогранич., т.е. чтобы выполн. .

Опр. 2. Изолир. особ.т. , для кот. выполн. , наз. полюсом голоморф. ф. f. Изолир. особ.т., для кот. (ни конечн., ни бескон) наз. существ. особ. т. ф.

Теор. 2. Чтобы т. была полюсом ф. f(z) необх. и достат., чтобы эта т. была нулем ф. .

Док-во. Большое.

Опр. 3. Т. наз. полюсом порядка (кратности) m, если т. явл. нулем порядка m для ф. . При m=1 полюс наз. простым, а при m>1 – кратным.

Теор. 3. Чтобы т. была полюсом кратн. m для ф. f, необх. и достат., чтобы лорановск. разлож. ф. f(см. 22-23) имело вид: ) (3).

Док-во. Большое.

След. Изолир. особ.т. голоморф. ф. f(z) явл. для нее существенно особ. т. титткларановск. разлож. ф. fв окр. т. содержит мн-во членов с отриц. степенями .

26. Теорема Сохоцкого.

Теор. 1. Если –сущ. особ. т. голоморф. ф. f, то для сущ. сход. к послед-ть , такая, что при .

Док-во. Большое. [ Случай бескон. удал. т. Пусть f(z) голоморф. в , тогда ф. будет голоморф.в обл. , .

Опр. 1. наз. прав. т., полюсом порядка mили сущ. особ. т. ф. f(z), голоморф. в К, (см. 25) в зав-ти от того, будет ли т. соотв-но прав. т., полюсом порядка m или сущ. особ. т. для ф-ии . В указ. случ. ф. иммет в окр-ти т. имеет лоран. разлож. (см. 23) вида: , второе ур-ие не видно. (в посл. случ. беск. мн-во коэф. при отриц. степенях отлична от 0).

Опр. 2. Разлож. , голоморф. в кольце , ф. f в ряд Лорана наз. рядом Лорана в бесконечности. Главная часть (см. 24) ряда Лорана в беск-ти наз. совокупность членов с полож. степенями, а прав.частью – все ост. члены.]