Обобщение интегральной теоремы Коши на случай, когда функция не является голоморфной на контуре интегрирования

Теор: Пусть G ограничена жордановой спрямляемой кривой Т и -ф-ции, голоморфной в G и непрерывной в , тогда

Док-во: проведем, при доп предп, что каждый луч выходит из точки , пересекая Г только в одной точке и что Г состоит из конечного числа гладких дуг. РИС

Пусть , –ур-ние крив Г, - по предположению имеет кусочно-непрер произв , пусть

Рассмотрим замкнутую кривую ,

По теор Коши: = , сл-но

Ф-ция f(z)-равномерно непрер в замкнутой области , поэтому , что при , имеем

Положим , , , , тогда при имеем ( , поэтому при указанном

Интегральная формула Коши. Теорема о среднем

. Теор: Пусть G-односвязанная область, ограниченная Жардановой спрямляемой кривой Г. f(z)-голоморфная функция замкнутой области G, тогда для точки справедлива формула: (1) (кривая Г проходится в положительном направлении)

Док-во: фиксир. . Пусть - окружность радиуса ρ с центром в точке z, целиком лежащей в G. РИС. Рассмотрим так же функцию (2). Эта функция является голоморфной в области, лежащей между контурами Г и , включая контура.

На основании теоремы Коши (3), это рав-во показывает, что .

Из рав-ва 2 =>, что , когда . Положив , получим непрерывно замкнутую область функции . Сл-но , что . Откуда получаем: , откуда следует, что , т.к сколь угодно мало, а знач постоянное число.