2018-02-13
561
Линейная функция 
Отображение 
будет конформным во всей плоскости 
Функция 
Соответствие, даваемое этой формулой, взаимнооднозначно во всех точках плоскости, причем в нулевой точке z=0 (W=0) соответствует бесконечно удаленная точка W=∞ (z=0)
Полагая 
Рассмотрим окружность 
Преобразовав (1) удобно разбить на 2 более простых
.
При преобразовании (2) аргумент сохраняется, а модуль изменяется на обратный. Точка z, находящаяся внутри окрестности C, преобразуется в точку W’, находящуюся вне окружности и лежащую на продолжении отрезка Oz,причем расстояние между 0, z и W’ равно 1.
Такое отображение называется инверсией относительно окрестности C. Точки z и W’ при этом называются взаимно симметричными относительно окрестности C.
Отображение (2) можно записать в виде: 
Преобразовав (3): 
Совокупность двух отображений дает голоморфное (z≠0) отображение
Это отображение будет сохранять углы во всех плоскостях 
, включая z=0, z=∞
При этом под углом двух линий при z=∞ понимают угол, образованныйотображениием линиями посредством функции в плоскости W при W=0.
Дробно-линейная функция 
Обратно, z можно выразить через W: 
Таким образом, соответсвуют формулы (1) является взаимно однозначным
точка 
будет соответствовать W=∞, а точка 
- точка z=∞.
Функция (1) сохраняет углы во всех точках расширенной плоскости
Теор: Образом прямой или окружности при отображении 
является прямая или окружность.
Док-во: Для линейной функции 
это свойство является очевидным.
Расссмотрим отображение . Уравнение окружности имеет вид: 
.
При A=0 уравнение (3) определяет прямую.
Перепишем это уравнение в виде:
, где AиC – действительные постоянные, 
При преобразовании получаем 
, или приведя к общему знаменателю, находим 
Уравнение (4) определяет окружность плоскости W (приC=0 оно предстанляет прямую)
Поскольку преобразование представляет собой комбинацию преобразований, для которых круговое свойство выполняется, то теорема доказана.
Круговое свойство дробно-линейного отображения, свойство сохранения симметрии, инвариантность ангармонического отношения.
Дробно-линейное отображение 
Зависит от трех параметров, за которые могут принять, например, отношение чисел a, b, c, d к одному из них.
Эти параметры однозначно определяется из требований, чтобы три заданных точки z1, z2, z3 плоскости 
переходит в заданные точки W1, W2, W3 плоскости 
: 
Чтобы исключить a, b, c, d из этих уравнений и из уравнения 
образуем разности:
Отсюда получим
Теор1: При невырожденном дробно-линейном отображении (1) с действительными коэффицентами верхняя полуплоскость ImZ>0 переходит в верхнюю полуплоскость ImW>0, если ad-bc>0 и нижнюю, если ad-bc<0
Опр: Выражение 
называется двойным. Равенство (2) означает инвариантность ангармонического отношения четырех точек при невырожденном дробно-линейном отображением
Теор2: (свойство сохранения симметрии) Если точки z1,z2 симметричны относительно некоторой прямой или окружности при дробно-линейном отображении их образы будут симметричны относительно образов γ: 
8. Степенная функция W = Zn. Риманова поверхность функции Z= 
.
ФункцияW=Zn однозначна и непрерывана на всей плоскости . При n=1 она тождественно отображает 
на 
. При отображении W=Znкаждый луч 
переводит в луч 
и, следовательно, углы с вершиной в точке z=0 увеличиваются в n раз. Точки z1,z2, у которых модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную 2π/nотображающ в одну точку, в силу чего Zn (n≥2) в неоднолистна.
Однако на каждом множестве, не содержащих равных по модулю точек, с равными по модулю 2π/n аргументами, функция Znоднолистна.
Примерами таких множеств служат углы 
В частности 
исключив из него луч 
, получив область 
, которая однолистно отображается функцией Zn на область 
В этой области однозначной является функция 
– ветви функции 
– обратной к функции W=Zn и называемой корнем n -ной степени.
В области ∆ она является аналитической функцией, причем 
Значение 
при 
принадлежат 
Пусть 
и значение 
Переместим точку W от W0 по окружности | W |=| W0 |, описывая при этом полную окружность. Тогда ArgW непрерывно возрастет на 2π, а 
возрастет на 2π/n ⇒после обхода окрестности переходим к значению 
После n -кратного обхода окрестности в одном направлении получим 
, т.е. указанные ветви функции совпадают.
Рассмотрим n экземпляров области , которые обозначим ∆0,∆1, …, ∆n-1Наложим эти области одна на другую и склеим нижний край разреза 
листа ∆k (k=0,1,2,…,n-2)с верхним краем такого же разреза листа ∆k+1 Свободный верхний край разреза L0 листа ∆0 склеим с нижним краем разреза ∆n+1
Если точка М – внутренняя для листа ∆k (∆k+1), то у нее существует ε окрестность, принадлежащяя тому же листу, если М лежит на линии склеивания ∆k с ∆k+1, то ε окрестность точки М составленная из части ее ε окрестности, принадлежащей ∆k и распространяющ на нижнюю полуплоскость, из части ε окрестности, принадлежащей ∆k+1 и рапространяющ в верхнюю полуплоскость, а также из ε интервалов, лежащих на L0 и симметрично относительно М построенная n -листная область называется Римановой поверхностью функции 
9. Экспоненциальная функция еz. Риманова поверхность функции Z = Ln(W)
Из равенства 
следует, что 
, так что областью однолистности 
является любая полоса шириной 
действительной оси. Разделим плоскость (z) на совокупность полос 
При отображении W=ez полосе соответствует вся плоскость! с удаленной из нее точкой W=0. Открытая часть полосы , т.е. области 
отображ на 
где L 0 – отрицательная и действительная оси, 
А прямые 
отображ на L 0
Из равенства 
Отсюда 
, следовательно все значения функции LnW, обратной к функции W=ezдля 
определяется по формуле: 
В областьи∆ имеем счетное множество однозначных ветвей LnkW 
функцииLnW, каждый из которых отображает ∆ на В точке W=1 ветвь LnkWпринимает значение 
; оно может быть использовано для выделения среди всех других рассматриваемых полос. Пусть 
и фиксировано, а z0 – значение LnW, принадлежащее Переместим точку Wот точки W0по окрестности|W|=|W0| против часовой стрелелки до той же точки W0При этом ArgWвозрастает на и точке W0будет соответствовать точка 
иначе говоря, ветвь LnkWперейдет в ветвь 
с помощью многократного повторения можно перейти от заданной ветви LnkW к другой его ветви.
Рассмотри счетное множество областей 
которое обозначим …,∆-2,∆-1,∆0,∆1,∆2,… Будем считать их наложенными друг на друга в порядке возрастания номеров.
Склеим верхний край разреза листа ∆k+1Бесконечнолистная поверхность получающаяся как результат указанных объединений листов ∆k называется Римановой поверхностью функции z=LnW
ФункцияW=ez голоморфно отображается на риманову поверхность функцию z=LnW. Точка W=0 при обходе которой совершается переход с одного лиса на другой называется трансцендентной точкой ветвления функции z=LnW
10.Интеграл от функции комплексного переменного вдоль кривой. Вычисление интеграла. Интеграл вдоль окружности от функции Zk, k ϵ Z. Свойства интеграла
Опр: число 
, (
) наз диаметром разбиения Т кривой Г.
Опр: пусть 
, 
. Сумма 
(1) наз-ся инт суммой кривой для фун-ции f на Г, соотв разбиению Т, выбору точек 
.
Опр: ф-ция f наз-ся интегрируемой по кривой Г, если 
облад след св-вом: 
, такое что пр любом разбиении Т крив Г с диаметром 
и при каждом выборе точек 
вып нер-во 
. Число I наз инт от ф-ции f вдоль(или по) кривой Г и обознач 
, а Г наз-ся путем интегрирования.
Зам: 
Теор: Если ф-ция f непрер на спрямляемой крив Г, то ф-ция f инт на этой кривой.
Зам: пусть Г-гладкая кривая, 
(a<t<b), тогда ее ур-ние 
Св-ва инт:
1 
2 
3 если спрямляемая кривая Г состоит из m кусков 
, а ф-ция 
непрер на Г, то ин-л 
, причем предп, что инт по каждому из 
происходит в направлении, порождаемом напр интегр по Г.
В случае 
не пересекает спярм крив (m≥2) не образуют кривой, ф-лу будем считать справедливой по опр.
4 
, где L- длина кривой Г
11. Интегральная теорема Коши для жордановой области и для составного контура.
Теор: если ф-ция f голоморфна в односвязной области 
и Г-любая спрямляемая замкнутая кривая, лежащая в 
, то 
Док-во: все док-во основано на леммах 1 и 2
Лемма 1: пусть f-непрерывна в односвяз области и для любого треугольника, содерж в Г, ин-л вдоль границы этого тр-ка 
, тогда любой замкнутой спрямляемой кривой Г, содерж в ин-л
Док-во: основано на том, что любую фигуру(область), можно разбить на тр-ки
Лемма 2: ф-ция f голоморфна в односвязной области и 
-контур какого-либо 
, то
Док-во: любой тр-к можно разбить на последовательность тр-ков, 
, при достаточно большом к, М устремляется к 0.
Пусть Г- жорданова спрямляемая кривая 
- голоморфна внутри Г, а так же в каждой точке Г. Другими словами, пусть 
голоморфна в замкнутой области 
кривой Г, в этом случае имеем
Теор: Пусть граница Г области G состоит из n+1 замкнутых жордановых спрямляемых кривых 
таких, что каждая из прямых 
лежит вне остальных и все они располагаются в 
. Пусть при этом если точка движется, то точки области G остаются слева. Тогда если ф голоморфна в , то РИС
Док-во: соединим 
в циклическом порядке с помощью вспомогательных кривых ab,cd,ef.
Рассмотрим 2 замкнутые кривые 
, 
Функция является голоморфной как внутри, так и на каждой из этих кривых 
, 
, 
Складывая эти 2 рав-ва получим (интегрируя по вспомогательным кривым ab,cd,ef соверш в 2 раза в противопол напр, поэтому уничтожаются)
Замеч: рав-во можно записать в виде 
, где интегрирование совершается в положительном направлении кривых
