Интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами

5 6 7 8 9 10 11

Пусть дано:

, (1)

где , – действительные числа. Составим так называемое характеристическое уравнение:

(2)

и найдем , – корни уравнения (2), и пусть . Рассмотрим две функции:

и . (3)

Докажем, что и есть частные решения, образующие фундаментальную систему решений. Подстановка дает:

и ,

, (4)

следовательно, общее решение

где , – .

Если и – комплексно сопряженные числа, , , то (4) дает решение в мнимой форме. Но можно получить и в действительной, если перейти к

(5)

(6)

– общее решение.

Примеры:

1) , , .

2) , , .

3) , , .

Рассмотрим теперь случай . В этом случае , а можно получить, используя формулу Остроградского – Лиувилля:

значит, и – фундаментальная система решений. Общее решение будет

. (7)

Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Дано:

, (8)

и – действительные числа, соответствующее однородное уравнение имеет вид:

характеристическое уравнение будет:

При известном общем решении однородного дифференциального уравнения частное решение неоднородного находится вариацией постоянных, а затем составляется общее решение (8). Метод вариацмм применим к (8) при и в этом смысле универсален. Однако, для частных случаев чаще применяется метод подбора.

Общее правило. Если может быть представлена в виде

, (9)

где , – действительные числа, и – целые рациональные функции степеней и , тогда (8) имеет частное решение вида

. (10)

Здесь – кратность корня характеристического уравнения. Если же не является корнем, то . , и – многочлены степени . Коэффициенты и определяются из тождества после подстановки в (8). Далее, как обычно, общее решение есть сумма и .

Если же не может быть сразу представлена в виде (9), но является суммой таких выражений, то используется теорема о наложении решений.

Для обоснования рассмотрим два частных случая и выведем правила нахождения для каждого случая.

Случай 1.

, , – .

Этот случай соответствует . будем искать в виде . Подставим в (8), получим

где есть:

1) многочлен -ной степени, если .

2) многочлен -й степени, если , .

3) многочлен -й степени, если .

В первом случае приходим к тождеству

, (*)

из которого можно найти неопределеные коэффициенты .

Во втором случае, , , то есть когда есть корень характеристического уравнения, тождество (*) невозможно, так как степень на 1 меньше степени . Чтобы их сравнять, надо умножить на . При этом степень повышается на 1. То есть мы будем искать решение в виде

В третьем случае умножается на , то есть

Правило 1. Если есть , то частное решение надо искать в виде

где – многочлен -й степени, а – кратность корня . Для вычисления неопределенных коэффициентов надо подставить в (8) и затем приравнять коэффициенты при одинаковых степенях .