2018-02-14
642
Пусть в уравнении
(*)
– принимает комплексные значения и пусть 
– некоторое решение. Тогда
есть решение уравнения 
,
есть решение уравнения 
.
Положим 
, 
. Дважды дифференцируя 
и подставляя в (*), получим:
,
отсюда, по равенству комплексных чисел, следует доказательство теоремы.
Следствие.
Если 
есть решение уравнения 
, то 
есть решение уравнения 
.
Заменим теперь в общем уравнении 
и 
по формулам Эйлера:
, 
,
перегруппируем и введем новые обозначения:
, 
, 
,
тогда
.
В силу следствия достаточно найти решение уравнения
,
но последнее было уже рассмотрено. Из этого следует, что его решение нужно искать в виде
,
– с неопределенными комплексными коэффициентами, 
– кратность 
в характеристическом уравнении.
На основании теоремы о наложении решений и следствия из вспомогательной теоремы,
,
где 
сопряжен с .
Снова используем формулы Эйлера:
,
.
Приводим к виду
, (**)
где 
, 
– многочлены с вещественными коэффициентами.
Замечание.
При использовании (**) надо помнить, что вид подобен виду , но является более полным. Так, если 
, то в (**) мы должны брать 
, если 
, то в (**) следует взять 
, и если 
, то в (**) возьмем 
, и т. д.
Пример.
,
, 
, 
, 
,
, так как 
не корень характеристического уравнения,
,
, 
, 
, 
, и т. д.
9.4.3. Линейные дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффициентами
Теорема.
Линейное дифференциальное уравнение преобразуется снова в линейное дифференциальное уравнение при всяком линейном преобразовании неизвестной функции и любом преобразовании аргумента (и только при таких преобразованиях).
Доказательство.
В уравнении
положим 
, где – новая искомая функция, а 
и 
– известные функции. Тогда
,
,
и исходное уравнение преобразуется к виду
,
и это уравнение снова является линейным, так как все коэффициенты и правая часть есть функции только 
. отметим, что входит только в правую часть.
Положим, что 
, тогда 
и
, 
.
Подставляя эти значения, получим опять линейное уравнение:
,
заменяя на 
найдем, что все коэффициенты и правая часть есть функции только 
. На этом доказательство первой части закончено.
Предположим теперь, что 
. Тогда
, 
.
Подставляя 
, 
и 
в исходное уравнение, получим в общем случае нелинейное уравнение
. (*)
Чтобы (*) было линейным, нужно, чтобы 
и 
не зависели от , 
, а 
содержало лишь в первой степени или было функцией только от . Выполнение этих требований превращает 
в линейную функцию. Если
,
и тогда 
не зависит от , а . При этом
есть функция от в первой степени. Таким образом, теорема доказана.
Очевидно, что для преобразования линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами в линйое дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами достаточно рассмотреть соответствующее однородное уравнение.
Согласно теореме, сохранение линейности возможно только в двух случаях: при линейном преобразовании функции 
(
, так как она не входит в коэффициенты в левой части) и при произвольном преобразовании .
Теперь выведем условия, налагаемые на 
и 
линейного дифференциального уравнения 2-го порядка, при которых это уравнение может быть приведено к линейному дифференциальному уравнению 2-го порядка с постоянными коэффициентами с помощью преобразования 
или .
Необходимое и достаточное условие для преобразования .
Итак, пусть дано уравнение
(1)
и подстановка , тогда
,
,
подставляя в уравнение, получим:
, (2)
и потребуем, чтобы коэффициенты при и 
были константами:
.
Тогда 
. Отсюда 
или
или
.
Последнее равенство можно записать, как
, где 
. (3)
(3) и есть условие приводимости (1) к (2), в котором коэффициенты являются постоянными.
Найдем теперь 
, с помощью которой это приведение выполняется:
.
Положим 
и 
, тогда 
и
.
Таким образом, преобразование выполняется, если выполнено (3).
Пример.
.
Условие (3) выполняется и 
приводит к уравнению
.
Необходимое и достаточное условие для преобразования .
Пусть , тогда
и 
. (
)
Далее,
Из (*), считая 
, имеем 
.
Кроме того, 
. Подставляя эти результаты в (**), получим:
или 
,
. (
)
() и есть искомое условие.
Найдем теперь 
. Из (*):
,
где 
, а 
– одна из первообразных от 
.
Таким образом, если выполняется (), то (1) можно привести к уравнению с постоянными коэффициентами с помощью преобразования .
Пример. Рассмотрим уравнение Эйлера
,
здесь 
, 
, 
, 
– 
, тогда 
или 
– нужная подстановка.
