Вспомогательная теорема

    Пусть в уравнении

                                                              (*)

 – принимает комплексные значения и пусть  – некоторое решение. Тогда

 есть решение уравнения ,

 есть решение уравнения .

 

    Положим , . Дважды дифференцируя  и подставляя в (*), получим:

    ,

отсюда, по равенству комплексных чисел, следует доказательство теоремы.

Следствие.

    Если  есть решение уравнения , то  есть решение уравнения .

 

    Заменим теперь в общем уравнении  и  по формулам Эйлера:

    , ,

перегруппируем и введем новые обозначения:

    , , ,

тогда

    .

В силу следствия достаточно найти решение уравнения

    ,

но последнее было уже рассмотрено. Из этого следует, что его решение нужно искать в виде

    ,

 – с неопределенными комплексными коэффициентами,  – кратность  в характеристическом уравнении.

    На основании теоремы о наложении решений и следствия из вспомогательной теоремы,

    ,

где  сопряжен с .

    Снова используем формулы Эйлера:

    ,

    .

Приводим  к виду

    ,                         (**)

где ,  – многочлены с вещественными коэффициентами.

Замечание.

    При использовании (**) надо помнить, что вид  подобен виду , но является более полным. Так, если , то в (**) мы должны брать , если , то в (**) следует взять , и если , то в (**) возьмем , и т. д.

Пример.

    ,

    , , , ,   

, так как  не корень характеристического уравнения,

     ,

     , , , , и т. д.

9.4.3. Линейные дифференциальные уравнения, приводящиеся к урав­нениям с постоянными коэффициентами

 

Теорема.

    Линейное дифференциальное уравнение преобразуется снова в линейное дифференциальное уравнение при всяком линейном преобразовании неизвестной функции и любом преобразовании аргумента (и только при таких преобразованиях).

Доказательство.

    В уравнении

 

положим , где  – новая искомая функция, а  и  – известные функции. Тогда

    ,

    ,

и исходное уравнение преобразуется к виду

    ,

и это уравнение снова является линейным, так как все коэффициенты и правая часть есть функции только . отметим, что  входит только в правую часть.

    Положим, что , тогда  и

    , .

Подставляя эти значения, получим опять линейное уравнение:

    ,

заменяя  на  найдем, что все коэффициенты и правая часть есть функции только . На этом доказательство первой части закончено.

    Предположим теперь, что . Тогда

    , .

Подставляя ,  и  в исходное уравнение, получим в общем случае нелинейное уравнение

    . (*)

Чтобы (*) было линейным, нужно, чтобы  и  не зависели от , , а  содержало  лишь в первой степени или было функцией только от . Выполнение этих требований превращает  в линейную функцию. Если

    ,

и тогда  не зависит от , а . При этом

   

есть функция от  в первой степени. Таким образом, теорема доказана.

 

    Очевидно, что для преобразования линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами в линйое дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами достаточно рассмотреть соответствующее однородное уравнение.

    Согласно теореме, сохранение линейности возможно только в двух случаях: при линейном преобразовании функции  (, так как она не входит в коэффициенты в левой части) и при произвольном преобразовании .

    Теперь выведем условия, налагаемые на  и  линейного дифференциального уравнения 2-го порядка, при которых это уравнение может быть приведено к линейному дифференциальному уравнению 2-го порядка с постоянными коэффициентами с помощью преобразования  или .

Необходимое и достаточное условие для преобразования .

    Итак, пусть дано уравнение

                                                                 (1)

и подстановка , тогда

    ,

    ,

подставляя в уравнение, получим:

    ,                              (2)

и потребуем, чтобы коэффициенты при  и  были константами:

    .

Тогда . Отсюда  или

   

    или

    .

Последнее равенство можно записать, как

    , где .                                          (3)

(3) и есть условие приводимости (1) к (2), в котором коэффициенты являются постоянными.

    Найдем теперь , с помощью которой это приведение выполняется:

   

    .

Положим  и , тогда  и    

    .

Таким образом, преобразование выполняется, если выполнено (3).

Пример.

    .

Условие (3) выполняется и  приводит к уравнению

    .

Необходимое и достаточное условие для преобразования .

    Пусть , тогда

    и

    .                         ()

Далее,

                                                                      

Из (*), считая , имеем      

    .

Кроме того, . Подставляя эти результаты в (**), получим:

    или ,

    .                                                         ()

() и есть искомое условие.

    Найдем теперь . Из (*):

     

,   

где , а  – одна из первообразных от .

    Таким образом, если выполняется (), то (1) можно привести к уравнению с постоянными коэффициентами с помощью преобразования .

Пример. Рассмотрим уравнение Эйлера

    ,

здесь , , ,  – , тогда  или  – нужная подстановка.