Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

    Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка содержат все основные, типичные черты уравнений -го порядка.        

    Однородное линейное дифференциальное уравнение -го порядка имеет вид:

    .               (1)

Для него, как и для линейного дифференциального уравнения 2-го порядка, справедливы теоремы о частных решениях 1 и 2. То есть линейные комбинации частных решений также являются решениями и если известно одно или несколько решений, то можно понизить порядок на одну или более единиц.

Определение. Фундаментальной системой решений уравнения (1) называется всякая система  частных решений , которая обладает следующим свойством: ни при каких , , одновременно не равных нулю, линейная комбинация

    .                                              (а)

В этом случае , удовлетворяющие (а), называют линейно независимыми.

    Из определения ледует, что нулевое решение не входит в фундаментальную систему решений. Например, , . Тогда, положив , …, , получим

    ,

что противоречит определению фундаментальной системы решений. Таким образом, фундаментальная система решений не может содержать ни одного . При  новое определение тождественно старому.

    Далее, вронскиниан фундаментальной системы решений (и только фундаментальной системы решений) отличен от тождественного нуля. Вронскиниан в общем случае имеет вид:

    .

Формула Остроградского-Лиувилля также имеет место в общем случае:

    .

Из нее также следует, что  либо тождественно равен нулю, либо не равен нулю ни при каком . Первый случай соответствует не фундаментальной системе решений, второй – фундаментальной системе решений.

    Существование фундаментальной системы решений доказывается аналогично дифференциальному уравнению 2-го порядка. Основная теорема устанавливает, что общее решение однородного линейного дифференциального уравнения -го порядка имеет вид:

    , где .

    Неоднородное линейное дифференциальное уравнение -го порядка имеет вид:

    .

Теоремы о частных решениях справедливы и в эом случае. Также, как и метод Лагранжа вариации произвольных постоянных:

    Однородное линейное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

    ,

    , действительные числа.

Характеристическое уравнение:

    .

Любому действительному -кратному корню  соответствуют решения:

, , .

Так как  – действительные числа, то комплексные корни характеристического уравнения встречаются только сопряженными парами и имеют одинаковую кратность. Любой паре  кратности  соответствует  частных решений:

     , , …, ,

    , , …, .

Таким образом, в общем случае решение однородного линейного дифференциального уравнения -го порядка имеет вид:

    ,

где  и  – кратности корней, а , ,  – многочлены соответствующих степеней.

    И, наконец, 2 теоремы о приведении к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Теорема 1.

    Если линейное дифференциальное уравнение -го порядка

                    (*)

допускает приведение к дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами при помощи замены независимой переменной  вида , то такой цели служит только подстановка

    , где .

Теорема 2.

    Если (*) допускает приведение к дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами при помощи подстановки , преобразующей неизвестную функцию , то такое преобразование выполняется только, если положить

    Для неоднородных линейных дифференциальных уравнений приведение осуществляется по тем же формулам.