2018-02-14
312
9.5.1. …
Нормальной системой дифференциальных уравнений называют систему 
дифференциальных уравнений 1-го порядка с неизвестными функциями 
, 
, …, 
аргумента 
, в которой любое уравнение содержит производную 1-го порядка только от одной из функций:
. (1)
Теорема Коши.
Если 
– непрерывные функции по 
, 
, …, 
в некоторой области 
, то любой внутренней точке 
области 
соответствует, и притом единственное, решение , , …, , удовлетворяюще этим начальным условиям. Такое решение называется частным.
Произвольно изменяя 
, получим бесконечное множество решений, или:
, …, 
– такое решение называется общим. Частное решение всегда можно получить из общего.
Системы дифференциальных уравнений типа (1) и дифференциальные уравнения -го порядка можно преобразовывать друг в друга с помощью введения дополнительных переменных или их исключения.
Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид:
|
|
|
(2)
– действительные числа, 
– известные непрерывные функции. Если 
, то система называется однородной.
Рассмотрим метод интегрирования системы (2) приведением е к одному линейному дифференциальному уравнению -го порядка с одной искомой функцией (например). Для этого продифференцируем первое уравнение из (2) по и заменим получившиеся в правой части 
их выражениями из (2):
.
Затем продифференцируем и его по и снова сделаем замены. После -го шага получим систему:
(*)
Выражая из первых 
уравнений , 
, …, через , , 
, 
, …, 
(предполагая 
) и подставляя в -е уравнение, получим
(**)
– линейное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами и одной неизвестной функцией.
Найдя общее решение (**) и используя производные 
от него из (*) найдем , , …, .
Пример.
,
Получим систему
,
.
Дифференцируя 
и подставляя в 
, найдем:
.
