Уравнение линейной множественной регрессии, нахождение к-тов модели

Линейная модель множественной регрессии. У=а₀+а₁х₁+ а₂х₂+…+ а_mх_m+e

Параметры определяются с помощью методов наименьших квадратов.

 Для этого проведем все рассуждения в матричной форме. Введем следующие матричные обозначения:

;

где У вектор n значений результативного показателя.

Х – матрица n значений m независимых переменных; а матрица параметров

У=Х∙а+ε.

Заметим, что а – выборочные оценки совокупности.

Итак, метод наименьших квадратов требует мин-ии суммы квадратов отклонений исходных модели значений

,

Далее:

Из матричной алгебры известно, что , тогда:

1 – это есть матрица размерностью 1Х1, т.е. число-скаляр, а скаляр при трансформировании не меняется, поэтому Þ

Согласно условию экстремума S по а =0

;

2Х^ТY+2aX^TX=0

X^TY=aX^TX

Для погашения а умножим обе части этого уравнения на (ХТХ)-1, тогда

а= (X^TХ)^-1∙X^TY

Решение задачи нахождения матицы, а возможно лишь в том случае, если строки и столбцы матрицы Х линейно независимы.