Проверка выполнения предпосылок регрессионного анализа выполняется на основе анализа остаточной компоненты. Анализ остатков позволяет получить представление, насколько хорошо подобрана сама модель и насколько правильно выбран метод оценки коэффициентов. Согласно общим предположениям регрессионного анализа остатки должны вести себя как независимые (в действительности почти независимые) одинаково распределенные случайные величины. В классических методах регрессионного анализа предполагается также нормальный закон распределения остатков. Исследование остатков полезно начинать с изучения их графика. Он может показать наличие какой-то зависимости, не учтенной в модели. Скажем, при подборе простой линейной зависимости между У и X график остатков может показать необходимость перехода к нелинейной модели (квадратичной, полиномиальной, экспоненциальной) или включения в модель периодических компонент. График остатков хорошо показывает и резко отклоняющиеся от модели наблюдения — выбросы. Подобным аномальным набдениям надо уделять особо пристальное внимание, так как их присутствие может грубо искажать значения оценок. Устранение эффектов выбросов может проводиться либо с помощью удаления их точек из анализируемых данных (эта процедура называется цензурированием), либо с помощью применения методов оценивания параметров, устойчивых к подобным грубым отклонениям.
|
|
Независимость остатков проверяется с помощью критерия Дарбина—Уотсона.
Корреляционная зависимость между текущими уровнями некоторой переменной и уровнями этой же переменной, сдвинутыми на несколько шагов, называется автокорреляцией.
Автокорреляция случайной составляющей нарушает одну из предпосылок нормальной линейной модели регрессии.
Наличие (отсутствие) автокорреляции в отклонениях проверяют с помощью критерия Дарбина—Уотсона. Численное значение коэффициента равно
Значение dw статистики близко к величине 2(1 - г(1)), где г(1) — выборочная автокорреляционная функция остатков первого порядка. Таким образом, значение статистики Дарбина—Уотсона распределено в интервале 0—4. Соответственно идеальное значение статистики — 2 (автокорреляция отсутствует). Меньшие значения критерия соответствуют положительной автокорреляции остатков, большие значения — отрицательной. Статистика учитывает только автокорреляцию первого порядка. Оценки, получаемые по критерию, являются не точечными, а интервальными. Верхние (d2) и нижние (d1) критические значения, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции, зависят от количества уровней динамического ряда и числа независимых переменных модели. Значения этих границ для уровня значимости α = 0,05 даны в специальных таблицах. При сравнении расчетного значения dw статистики с табличным могут возникнуть такие ситуации: d2 < dw < 2 — ряд остатков не коррелирован; dw < d} — остатки содержат автокорреляцию; d1 < dw < d2 — область неопределенности, когда нет оснований ни принять, ни отвергнуть гипотезу о существовании автокорреляции. Если d превышает 2, то это свидетельствует о наличии отрицательной корреляции. Перед сравнением с табличными значениями dwкритерий следует преобразовать по формуле dw' = 4 – dw.
|
|
Установив наличие автокорреляции остатков, переходят к улучшению модели. Если же ситуация оказалась неопределенной (d1 < dw < d2) применяют другие критерии. В частности, можно воспользоваться первым коэффициентом автокорреляции
Для принятия решения о наличии или отсутствии автокорреляции в исследуемом ряду фактическое значение коэффициента автокорреляции r(1) сопоставляется с табличным (критическим) значением для 5%-ного уровня значимости (вероятности допустить ошибку при принятии нулевой гипотезы о независимости уровней ряда). Если фактическое значение коэффициента автокорреляции меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду может быть принята, а если фактическое значение больше табличного — делают вывод о наличии автокорреляции в ряду динамики.
Обнаружение гетероскедастичности. Для обнаружения гетеро-скедастичности обычно используют три теста, в которых делаются различные предположения о зависимости между дисперсией случайного члена и объясняющей переменной: тест ранговой корреляции Спирмена, тест Голдфельда— Квандта и тест Глейзера.
При малом объеме выборки для оценки гетероскедастичности может использоваться метод Голдфельда— Квандта.
Данный тест используется для проверки такого типа гетероскедастичности, когда дисперсия остатков возрастает пропорционально квадрату фактора. При этом делается предположение, что случайная составляющая распределена нормально.
Чтобы оценить нарушение гомоскедастичности по тесту Голдфельда— Квандта, необходимо выполнить следующие шаги.
1. Упорядочение п наблюдений по мере возрастания переменной х.
2. Разделение совокупности на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора х) и определение по каждой из групп уравнений регрессии.
3. Определение остаточной суммы квадратов для первой регрессии и второй регрессии
4. Вычисление отношений (или наоборот) в числителе д.б. сумма квадратов. Полученное отношение имеет F распределение со степенями свободы k1=n1–m и k2=n–n1–m (где m – число оцениваемых парметров в уравнении регрессии).
Если , то гетероскедастичность имеет место.
Чем больше величина F превышает табличное значение F-критерия, тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.