2018-02-14
358
Задача 2. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь а) методом Крамера; б) матричним методом; в) методом Гаусса.
Розв’язання:
а) Розв’яжемо систему методом Крамера. Основна матриця системи та матриця-стовпець вільних членів відповідно мають вигляд:
, 
.
Обчислимо визначник 
основної матриці А за відповідними правилами або використовуючи програмний засіб Microsoft Office Excel (рис. 3):
Матриця А не є виродженою(
), тому розв’язок системи можемо знайти за формулами Крамера:
, 
, 
, де
- визначник, який отримується з визначника основної матриці заміною першого її стовпця стовпцем вільних членів;
- визначник, який отримується з визначника основної матриці заміною другого її стовпця стовпцем вільних членів;
- визначник, який отримується з визначника основної матриці заміною третього її стовпця стовпцем вільних членів.
Обчислимо визначники , , за відповідними правилами або використовуючи програмний засіб Microsoft Office Excel:
.
.
.
Тоді за формулами Крамера отримуємо:
, 
, 
.
б) Розв’яжемо систему матричним методом. Дана система лінійних алгебраїчних рівнянь рівносильна матричному рівнянню
, де , 
,
Вказане матричне рівняння (а відповідно і система лінійних алгебраїчних рівнянь) при не виродженій матриці А () має розв’язок:
,
де 
- матриця обернена до матриці 
, її знаходять за формулою наведеною нижче або використовуючи програмний засіб Microsoft Office Excel (рис. 4-5):
Обчислимо алгебраїчні доповнення елементів матриці А:
, 
, 
,
,
,
,
,
,
.
Отже 
.
Тоді перемноживши відповідні матриці за відповідними правилами або використовуючи програмний засіб Microsoft Office Excel (рис. 6-7) отримаємо остаточний результат:
, звідки 
, 
, 
.
в) Розв’яжемо систему методом Гаусса. Для цього виконаємо над системою декілька елементарних перетворень, з метою зведення її до трикутного вигляду. Елементарні перетворення зручніше виконувати над відповідною розширеною матрицею системи:
Обернений хід метода Гаусса можна провести продовжуючи виконувати елементарні перетворення над розширеною матрицею системи, з метою зведення основної матриці до одиничної:
Відповідь: , , .
