Приклади розв’язування завдань

Задача 2. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь а) методом Крамера; б) матричним методом; в) методом Гаусса.

Розв’язання:

а) Розв’яжемо систему методом Крамера. Основна матриця системи та матриця-стовпець вільних членів відповідно мають вигляд:

, .

Обчислимо визначник основної матриці А за відповідними правилами або використовуючи програмний засіб Microsoft Office Excel (рис. 3):

Матриця А не є виродженою(), тому розв’язок системи можемо знайти за формулами Крамера:

, , , де

- визначник, який отримується з визначника основної матриці заміною першого її стовпця стовпцем вільних членів;

- визначник, який отримується з визначника основної матриці заміною другого її стовпця стовпцем вільних членів;

- визначник, який отримується з визначника основної матриці заміною третього її стовпця стовпцем вільних членів.

Обчислимо визначники , , за відповідними правилами або використовуючи програмний засіб Microsoft Office Excel:

Тоді за формулами Крамера отримуємо:

, , .

б) Розв’яжемо систему матричним методом. Дана система лінійних алгебраїчних рівнянь рівносильна матричному рівнянню

, де , ,

Вказане матричне рівняння (а відповідно і система лінійних алгебраїчних рівнянь) при не виродженій матриці А () має розв’язок:

де - матриця обернена до матриці , її знаходять за формулою наведеною нижче або використовуючи програмний засіб Microsoft Office Excel (рис. 4-5):

Обчислимо алгебраїчні доповнення елементів матриці А:

, , ,

Отже .

Тоді перемноживши відповідні матриці за відповідними правилами або використовуючи програмний засіб Microsoft Office Excel (рис. 6-7) отримаємо остаточний результат:

, звідки , , .

в) Розв’яжемо систему методом Гаусса. Для цього виконаємо над системою декілька елементарних перетворень, з метою зведення її до трикутного вигляду. Елементарні перетворення зручніше виконувати над відповідною розширеною матрицею системи:

Обернений хід метода Гаусса можна провести продовжуючи виконувати елементарні перетворення над розширеною матрицею системи, з метою зведення основної матриці до одиничної: