Приклади розв’язування завдань

Задача № 6. Задані чотири точки , , , . Знайти:

а) рівняння площини А₁А₂А₃;

б) рівняння прямої А₁А₄;

в) відстань від точки А₄ до площини А₁А₂А₃;

г)кут між прямою А₁А₄ та площиною А₁А₂А₃;

д) рівняння прямої, що проходить через точку А₄ перпендикулярно площині А₁А₂А₃;

е)  рівняння площини, що проходить через точку А₄ перпендикулярно до прямої А₁А₂.

Розв’язання:

а) Відомо координати трьох точок, які належать площині А₁А₂А_3. Тому будемо шукати її рівняння, як рівняння площини за трьома точками , , , тобто за формулою:

Складемо рівняння площини А₁А₂А₃ за трьома точками , , :

Таким чином

 

б) Відомо координати двох точок, які належать прямій А₁А₄: , . Тому складемо рівняння прямої А₁А₄ за двома точками , тобто використовуючи формулу:

.

Тоді

в) Відстань від точки  до площини  знаходять за формулою:

Тоді відстань від точки  до площини  дорівнюватиме:

.

г) Кут між прямою та площиною знаходять за формулою:

,

де  - координати напрямного вектора прямої, - координати нормального вектора площини.

    Із канонічного рівняння прямої  можна знайти координати її напрямного вектора . Тому координати напрямного вектора прямої  дорівнюватимуть .

 

Із загального рівняння площини  можна знайти координати її нормального вектора . Тому координати нормального вектора площини   дорівнюватимуть .

 

Знайдемо кут  між прямою та площиною  знаходять за формулою:

д) Назвемо прямою l пряму, що проходить через точку перпендикулярно площині А₁А₂А₃.

Так як пряма l є перпендикулярною до площини А₁А₂А₃, то нормальний вектор площини А₁А₂А₃ є напрямним вектором для прямої l, тобто .

 

Знаючи координати цього вектора , а також координати точки , можемо скласти рівняння прямої l за точкою  та напрямним вектором , тобто використовуючи формулу:

Тоді

 

е) Назвемо   площину, що проходить через точку А₄ перпендикулярно до прямої А₁А₂.

Так як пряма  А₁А₂ є перпендикулярною до площини , то вектор  можна вважати нормальним вектором площини . Обчислимо координати вектора :

, тобто

Знаючи координати цього вектора , а також координати точки , можемо скласти рівняння площини  за точкою  та нормальним вектором , тобто використовуючи формулу:

Тоді:

 

Відповідь: а) ; б) ;   в) ; г) ; д) ; е) .