Приклади розв’язування завдань

1 2 3 4 5 6 7

Задача № 5. Задані вершини трикутника АВС, де .Знайти:

а) рівняння та довжину сторони АВ;

б) рівняння та довжину висоти СН;

в) рівняння прямої, що проходить через точку С паралельно до сторони АВ;

г) виконати відповідні креслення до завдань а-в.

Розв’язання:

а) Відомо координати двох точок, які належать прямій АВ: . Тому складемо рівняння прямої АВ за двома точками , тобто використовуючи формулу:

Тоді

Обчислимо довжину сторони АВ, як довжину відповідного вектора , тобто за формулою:

, де - початок і кінець вектора .

Тоді

б) Пряма СН є перпендикулярною до прямої АВ. Тому нормальний вектор прямої АВ є напрямним вектором для прямої СН, тобто .

З’ясувавши координати цього вектора, а також знаючи координати точки можемо скласти канонічне рівняння прямої СН за точкою та напрямним вектором , тобто використовуючи формулу:

Знайдемо координати вектора із рівняння прямої АВ, пам’ятаючи, що якщо пряма має рівняння , то її нормальний вектор має координати .

Перетворимо рівняння прямої АВ із канонічного вигляду до загального:

, звідки випливає, що .

Складемо рівняння прямої СН за точкою та напрямним вектором :

Довжину висоти СН обчислимо, як відстань від точки до прямою , тобто за формулою:

Тоді відстань від точки до прямою дорівнюватиме:

в) Пряму, що проходить через точку С паралельно до сторони АВ позначимо l. Так як пряма l є паралельною до прямої АВ, то нормальний вектор прямої АВ є нормальним вектором і для прямої l, тобто .

З’ясувавши координати цього вектора, а також знаючи координати точки можемо скласти рівняння прямої l за точкою та нормальним вектором , тобто використовуючи формулу: