Оптимизация параметров СМО

При организации СМО важно выбрать ее параметры так, чтобы наилучшим образом решать стоящие перед ней задачи. При этом качество их решений определяется, как правило, с помощью векторного критерия эффективности, компонентами которого являются частные показатели эффективности СМО.

Решение задачи выбора рациональных параметров СМО как векторной – затруднительно. Поэтому на практике достаточно часто используют сведение частных показателей эффективности в один – обобщенный с помощью различных процедур свертки и далее задачу рассматривают как монокритериальную.

В качестве такого интегрального (обобщенного) показателя в широком классе задач можно использовать величину прибыли, получаемой от функционирования СМО, которая определяется как разница между доходами от обслуживания заявок (например, клиентов в парикмахерской), с одной стороны, и расходами на создание (модернизацию) системы (создание каналов обслуживания, мест в очереди, аренда помещений, зарплата работников, увеличение интенсивности обслуживания и т.п.),– расходами (штрафами, бонусами), которые вынуждена нести система, чтобы «не отпугнуть» клиентов за отказ в обслуживании, за незавершенное обслуживание) и т.д., с другой стороны.

Оптимизируемыми параметрами при этом могут быть: число каналов обслуживания n, максимальная длина очереди m, интенсивность обслуживания , стоимостные показатели и другие параметры СМО, которые варьируются в рамках заданных для них ограничений.

Однако стоимостной критерий не является универсальным. В ряде задач больш е е значение играет факт выполнение СМО поставленной перед ней задачей. Например, если в качестве СМО рассматривается система ПВО. Тогда в качестве показателя эффективности такой системы можно рассматривать математическое ожидание числа обслуженных (пораженных) самолетов противника, вероятность проникновения самолета через систему ПВО (вероятность, что заявка не будет обслужена) и др.

 

Рассмотрим, в качестве примера, некоторую СМО с ограничением времени нахождения требования в очереди (см. рис.). Если все потоки в системе будут распределены по экспоненциальному закону, то такая СМО является марковской и ее процесс функционирования может быть описан с помощью уравнений Колмогорова-Чепмена (см. лекции – СМО с ограничением времени нахождения заявки в очереди).

 

 

Если число мест в очереди ограничено, то в системе существует стационарный режим.

Примером такой СМО может являться парикмахерская. В качестве критерия эффективности будем использовать величину прибыли (в рублях), получаемой от функционирования данной СМО в стационарном режиме, которая определяется как разность между доходами от обслуживания клиентов (заявок) и расходами на содержание системы за некоторый заданный период времени T (например, один месяц). Оценим эффективность работы подобной системы в стационарном режиме.

Для проведения расчетов примем:

n – число каналов обслуживания;

m –максимальное число мест в очереди;

λ - интенсивность поступления заявок в единицу времени (в час);

µ - интенсивность обслуживания (среднее число заявок, обслуживаемых в канале обслуживания за один час);

ν - интенсивность покидания очереди (для заявки в очереди) ввиду ограничения максимального времени нахождения заявки в очереди (в час).

S_д – средний доход от обслуживания одной заявки (руб.);

S_отк – расходы (бонусы), которые представляет система клиентам (заявкам), не вошедшим в систему, если все места в очереди заняты (руб.);

S_пок – расходы (бонусы), которые представляет система клиентам, вынужденным покинуть систему не обслуженными в связи с большой очередью и ограничением на время нахождения в ней (руб.);

S_ож – расходы (чай, кофе,…), которые представляет система клиентам во время ожидания ими начала обслуживания (руб.);

S_кан – расходы, которые несет система, для создания одного канала обслуживания, отнесенные к заданному периоду времени T (руб.);

S_оч – расходы, которые несет система для создания одного места в очереди, отнесенные к заданному периоду времени T (руб.).

Запишем для нашей СМО уравнения размножения и гибели, найдем значения всех Р_k – х в стационарном режиме (см. лекции - СМО с ограничением времени ожидания требования в очереди).

В качестве основных характеристик СМО примем:

p_отк = p_n+m - вероятность получения отказа.

l_отк = l*p_отк - поток отказов в обслуживании.

l_сист = l*(1-p_отк) - поток требований, вошедших в систему.

n_пок = n*m_оч - поток требований, покидающих очередь по ограничению времени.

m_обс = m_кан*m - поток обслуженных заявок..

Р_обс - вероятность того, что требование из входного потока будет обслужено.

Р_пок - вероятность, что требование из входного потока покинет очередь не обслуженным.

t_ож.оч. - среднее время ожидания требования в очереди.

После проведенных расчетов необходимо убедиться, что в стационарном режиме работы системы выполняется условие:

l = lотк + lсист,   lсист = mобс + nпок.

 

Примечание: При вычислении доходов и расходов в системе за заданный период времени T (например, один месяц) принять число рабочих дней в месяце равным 25-ти, а число рабочих часов в день, равным 8-ми.

 

Если случайные потоки, анализируемые в рассматриваемой задаче нельзя рассматривать как марковские, то необходимые характеристики СМО можно получить с помощью имитационного моделирования.