Образование проекций

 

Двумя основными видами проецирования являются:

1. центральное проецирование;

2. параллельное проецирование.

Для получения центральных проекций надо задаться плоскостью проекций и центром проекций – точкой, не лежащей в этой плоскости (рис.1: плоскость – π₀ , точка – О).

Рис.1

 

Взяв некоторую точку А и проведя через О и А прямую линию до пересечения ее с плоскостью π₀, получим точку А′. Так же поступаем с точкой В. Точки А′ и В′ являются центральными проекциями точек А и В на плоскости π₀ , они получаются в пересечении проецирующих лучей ОА и ОВ с плоскостью проекций.

Призаданных плоскости проекций и центре проекций можно построить проекцию точки; но имея проекцию, нельзя по ней определить положение самой точки в пространстве. Так как любая точка проецирующей прямой ОС проецируется в одну и ту же точку на плоскость проекций π₀ (А′ ≡ В′ ≡ С′), (≡ знак совпадения), см. рис. 2.

В подобных случаях, для единственного решения необходимы дополнительные условия.

Рис.2

 

Проекцию линии можно построить, проецируя ряд ее точек (рис. 3). При этом проецирующие прямые в своей совокупности образуют коническую поверхность или могут оказаться в одной плоскости (например, при проецировании прямой линии, не проходящей через центр проекций, или кривой линии, все точки которых лежат в плоскости, совпадающей с проецирующей).

Проекция линии получается в пересечении проецирующей поверхности с плоскостью проекций (рис.3). Но как показывает рис.4, проекция линии не определяет проецируемую линию, так как на проецирующей поверхности можно разместить ряд линий, проецирующихся в одну и ту же линию на плоскости проекций.

 

 

Рис.3                                                        Рис. 4

 

Рассмотрим теперь способ проецирования, называемый параллельным. Условимся считать все проецирующие прямые параллельными. Для их проведения должно быть указано некоторое направление (рис. 5). И такпостроенные проекции называются параллельными.

Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального, если принять, что центр проекций бесконечно удален.

Параллельной проекцией точки называется точка пересечения прямой, проведенной параллельно заданному направлению, с плоскостью проекций.

 

Рис.5

 

Чтобы получить параллельную проекцию некоторой линии, можно построить проекции ряда ее точек и провести через эти проекции линию. При этом проецирующие прямые в своей совокупности могут образовать цилиндрическую поверхность, поэтому параллельные проекции также называют цилиндрическими.

В параллельном проецировании так же как и в центральном:

1) для прямой линии проецирующей поверхностью в общем случае служит плоскость и поэтому прямая линия проецируется в виде прямой;

2) каждая точка и линия в пространстве имеют единственную свою проекцию;

3) каждая точка на плоскости проекций может быть проекцией множества точек, если через них проходит общая для них проецирующая прямая;

4) каждая линия на плоскости проекций может быть проекцией множества линий, если они расположены в общей для них проецирующей плоскости;

5) для построения проекций прямой достаточно спроецировать две ее точки и через полученные проекции этих точек провести прямую линию;

6) если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит

проекции этой прямой;

7) если прямая параллельна направлению проецирования, то проекцией прямой является точка;

8) отрезок прямой линии, параллельной плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в натуральную свою величину.

Параллельные проекции делятся на косоугольные и прямоугольные. В первом случае направление проецирования составляет с плоскостью проекций угол, не равный 90^о во втором случае проецирующие прямые перпендикулярны к плоскости проекций (рис. 6).

Рис.6

На рис. 6 изображены: π₀ – плоскость проекций;А – точка в пространстве;S – направление проецирования (S_┴ π₀);А′ - ортогональная проекция точки А;

Простота построений и свойств параллельных проекций, обеспечивающие сохранение натуральных размерных соотношений, объясняют широкое применение параллельного проецирования.