Взаимное пересечение многогранников

Линия пересечения двух многогранников может быть определена по точкам пересечения ребер одного многогранника с гранями другого: это – известная задача на определение точки пересечения прямой с плоскостью.

Линия пересечения многогранников может быть определена и как линия пересечения граней многогранников: задача на определение линии пересечения двух плоскостей.

Преимущество отдается тому из способов, который в зависимости от условия задачи дает более простое и наиболее точное решение.

Эти два способа построения линии пересечения двух многогранников часто комбинируют.

Линиями пересечения двух многогранников в общем случае являются пространственные замкнутые многоугольники. В зависимости от вида многогранников и их взаимного расположения линиями пересечения могут быть один, два и более пространственных многоугольников.

Если один многогранник частично пересекается другим, как бы не полностью врезается в другой многогранник, то имеем одну замкнутую пространственную ломаную линию их взаимного пересечения. Такое взаимное пересечение выпуклых многогранников называют неполным проницанием.

Если один многогранник полностью пересекается вторым многогранником, получаем две линии их пересечения – линию входа одного многогранника в другой и линию выхода. Такое взаимное пересечение многогранников называют полным проницанием.

На рисунке 15 показано построение линии пересечения полного проницания прямой трехгранной призмы с треугольной пирамидой. Призма своим основанием стоит на горизонтальной плоскости проекций π ₁. Горизонтальные проекции её ребер преобразуются в точки, а грани преобразуются в отрезки прямых, т.е. они представляют собой горизонтально – проецирующие плоскости.

Линия пересечения двух многогранников определяется по точкам пересечения ребер одного многогранника с гранями другого.

Так, ребро АD пирамиды пересекает две грани призмы, одну – в точке 1, другую – в точке 8. Ребро ВD пирамиды пересекает две грани призмы в точках 2 и 5. Ребро СD – в точках 3 и 4.

Из трех боковых ребер призмы только одно (ребро Е) пересекает пирамиду. Чтобы найти точки пересечения этого ребра с гранями пирамиды, через ребро Е призмы и вершину D пирамиды проводим вспомогательную горизонтально – проецирующую плоскость γ. Она пересекает пирамиду по прямым линиям, которые пересекают ребро призмы Е в точках 6 и 7. Эти точки и являются точками пересечения ребра призмы Е с гранями пирамиды DAB и DAC.

Рис. 15

Соединяя каждые пары таких точек одних и тех же граней отрезками прямых, получаем две линии пересечения многогранников. Одна из них представляет собой пространственный многоугольник 568745, другая треугольник 1231.

На фронтальной проекции отрезки 1-3 и 3-2 линии пересечения видимы, т.к. они принадлежат видимым граням DAC и DBC. Отрезок 1-2 является невидимым во фронтальной проекции. Этот отрезок принадлежит видимой в этой проекции грани призмы VF и невидимой грани пирамиды DAB.

Во фронтальной проекции также видимы отрезки 5-4 и 4-7 второй линии пересечения, а отрезки 5-6, 6-8, 8-7 этой линии невидимы.