2018-02-13
311
Тема 1. Теорія функцій комплексної змінної
Література: [1], гл. I-VII; [2], гл. 1, § 1-6, гл. 2, гл. 4,гл. 5, § 1; [3], гл. I;
[6], гл. 11, § 1, 2, 4, гл. 12, § 1, 3, 5, 6.
При вивченні матеріалу цієї теми студент повинен усвідомити основні поняття теорії функції комплексної змінної, навчитися обчислювати значення елементарних функцій, інтегралів вздовж замкненого контуру, будувати розвинення функцій в ряд Лорана та обчислювати лишки.
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Побудувати на комплексній площині числа 
, 
.
Розв’язок. Числу на координатній площині відповідає точка з координатами 
, а числу – точка 
.
Приклад 2. Виконати арифметичні дії з комплексними числами 
, 
.
Розв’язок. 
;
;
;
.
Приклад 3. Записати комплексні числа у показниковій та тригонометричній формах.
а) 
.
Розв’язок. Обчислимо модуль та головне значення аргумента комплексного числа.
, 
.
;
, або
.
Тоді 
– тригонометрична форма,
та 
– показникова форма.
б) 
.
Розв’язок. 
, 
;
;
, або
.
Тоді 
– тригонометрична форма,
та 
– показникова форма.
Приклад 4. Зобразити геометричне місце точок, які задовольняють умові
.
Розв’язок.
.
Це рівняння кола з центром у точці 
, яка відповідає комплексному числу 
. Радіус кола дорівнює 
.
Приклад 5. Обчислити значення функцій комплексної змінної.
а) 
.
Розв’язок. Обчислимо модуль та головне значення аргументу комплексного числа.
, 
; 
;
.
Тоді 
. За правилом обчислення кореня з комплексного числа маємо
, 
.
б) 
.
Розв’язок. 
, 
; 
;
.
.
, 
.
в) 
.
Розв’язок.
1 спосіб. Значення синуса комплексного аргумента можна обчислити з використанням зв’язку цієї тригонометричної та показникової функції.
;
.
2 спосіб. Для тригонометричних функцій комплексної змінної є вірними всі властивості функцій дійсної змінної.
.
г) 
.
Розв’язок.
1 спосіб. 
.
2 спосіб.
.
д) 
.
Розв’язок. 
.
, 
, 
, 
;
;
.
е) 
.
Розв’язок. 
, 
, 
, 
; 
;
.
Приклад 6. З’ясувати, чи є функція 
аналітичною.
Розв’язок. 
.
Отже, 
; 
.
Обчислимо частинні похідні цих функцій.
; 
;
; 
.
Умови Коші – Рімана 
, 
виконуються для будь-яких дійсних х та у, отже, функція є аналітичною на всій комплексній площині.
Приклад 7. Обчислити інтеграли по замкнутому контуру.
а) 
.
Розв’язок. Функція 
аналітична на всій комплексній площині, крім точки 
.
Побудуємо контур інтегрування – коло 
.
Точка розташована поза колом , тому 
б) 
.
Розв’язок. Функція 
аналітична на всій комплексній площині, крім точки 
.
Побудуємо контур інтегрування – коло 
. Точка – внутрішня точка цього кола, функція 
аналітична, тому за інтегральною формулою Коші
(або 
) отримаємо
.
в) 
.
Розв’язок. Функція 
аналітична на всій комплексній площині, крім точок, в яких справджується рівність 
, тобто крім точок 
та 
.
Побудуємо контур інтегрування – лінію 
. Це коло з центром в точці 
та радіусом 
.
Точка – внутрішня точка цього кола, точка лежить поза колом. Тоді підінтегральну функцію можна записати у вигляді 
, де 
– функція, аналітична у всіх точках області, обмеженої контуром інтегрування. Тоді згідно з інтегральною формулою Коші
.
г) 
.
Розв’язок. Функція 
аналітична на всій комплексній площині, крім точок, в яких справджується рівність 
, тобто крім точок 
та 
.
Побудуємо контур інтегрування – лінію . Це коло з центром у початку координат та радіусом . Точка – внутрішня точка цього кола, точка лежить поза колом. Тоді підінтегральну функцію можна записати у вигляді 
, де 
– функція, аналітична у всіх точках області, обмеженої контуром інтегрування. Згідно з інтегральною формулою Коші
.
д) 
Розв’язок. Функція 
аналітична на всій комплексній площині, крім точок, в яких справджується рівність 
, тобто крім точок 
та 
.
Побудуємо контур інтегрування – лінію 
. Це коло з центром у точці та радіусом 
. Точка – внутрішня точка цього кола, точка лежить поза колом. Тоді підінтегральну функцію можна записати у вигляді 
, де 
– функція, аналітична у всіх точках області, обмеженої контуром інтегрування.
Для обчислення інтеграла від цієї функції можна застосувати інтегральну формулу типу Коші
.
Для 
отримаємо 
.
Тоді 
, 
, та
.
Приклад 8. Знайти круг збіжності степеневого ряду та побудувати його на комплексній площині. Якщо є можливість, дослідити поведінку ряду на межі кругу.
а) 
Розв’язок. 
; 
.
Обчислимо радіус збіжності:
.
Ряд абсолютно збігається для всіх 
, які задовольняють умові 
. 
З’ясуємо поведінку ряду у точках, для яких 
:
.
Цей ряд абсолютно збігається, отже, степеневий ряд є абсолютно збіжним для всіх чисел, для яких 
. Цій умові відповідає круг з центром у початку координат та радіусом 
. Граничні точки також входять до області збіжності ряду.
б) 
.
Розв’язок. 
.
Обчислимо радіус збіжності:
.
Таким чином, ряд абсолютно збігається для всіх , які задовольняють умові 
, тобто у внутрішніх точках кругу з центром у точці 
та радіусом 
.
Дослідимо поведінку ряду на межі цього кругу, тобто при 
:
.
Цей ряд згідно з необхідною умовою збіжності розбігається (
), отже, на колі степеневий ряд є розбіжним.
в) 
Розв’язок. Це ряд з пропуском степенів, отже, для його дослідження доцільно скористатися ознакою Даламбера або Коші.
Оберемо ознаку Даламбера:
; 
;
.
.
Таким чином, ряд абсолютно збігається для всіх , які задовольняють умові 
, тобто у внутрішніх точках кругу з центром у точці 
та радіусом .
Дослідимо поведінку ряду на межі цього кругу, тобто для , які задовольняють умові 
:
.
Цей числовий ряд з додатними членами збігається, отже, степеневий ряд на колі є абсолютно збіжним.
Приклад 9. Знайти лишки функції у всіх її скінченних особливих точках.
а) 
.
Розв’язок. Особливі точки функції відповідають умові
; 
, 
– полюси 1-го порядку.
Лишки у полюсах 1-го порядку обчислюються за формулою
,
тобто 
;
.
б) 
.
Розв’язок. 
; 
– полюси 1-го порядку.
Лишки у таких точках можна також обчислити за формулою
,
де 
– аналітична функція, 
.
Тоді 
;
.
в) 
.
Розв’язок. 
– полюс 3-го порядку.
Лишок у цій точці обчислюється за формулою
, або для 
.
Тоді 
;
; 
,
отже, 
.
б) 
.
Розв’язок. Особлива точка 
. Для обчислення лишка у цій точці побудуємо розвинення функції у відповідний ряд Лорана. Для цього скористаємося відомим розвиненням показникової функції у степеневий ряд
.
Тоді 
.
Згідно з означенням лишка, 
.
Тема 2. Інтегральні перетворення
Література: [2], гл. 8; [3], гл. VI; [4], гл. XIX; [6], гл. 13.
При розгляді цієї теми студент повинен навчитися будувати зображення Лапласа функцій з використанням властивостей перетворення Лапласа та таблиці зображень, оволодіти найпростішими методами відновлення оригіналу за відомим зображенням та навчитися розв’язувати диференціальні рівняння методами операційного числення.
Розглянемо деякі приклади.
Приклад 1. Знайти зображення Лапласа заданих функцій.
а) 
.
Розв’язок. Розглядувана функція є лінійною комбінацією функцій, зображення яких відомі:
; 
.
Тоді
.
б) 
.
Розв’язок.
1 спосіб. Зображення Лапласа функції 
відомо:
.
За теоремою про диференціювання зображення 
;
.
Остаточно 
.
2 спосіб. Зображення Лапласа функції 
відомо:
.
Скористаємося теоремою про диференціювання зображення:
.
За теоремою зміщення 
отримаємо:
.
в) 
.
Розв’язок. Запишемо розглядувану функцію за допомогою функції Хевісайда:
.
Зображення функції 
відомо:
.
Згідно з теоремою спізнення 
маємо:
.
Остаточно 
.
Приклад 2. Знайти оригінал за заданим зображенням.
а) 
.
Розв’язок. Розглядувану функцію дуже легко записати як лінійну комбінацію табличних:
;
; 
; 
.
Тоді 
.
б) 
.
Розв’язок.
1 спосіб. Запишемо задане зображення у вигляді, який дозволяє використати таблицю оригіналів.
.
Отже, 
.
Тоді шуканим оригіналом є функція 
.
2 спосіб. Функція є правильним дробом. Особливі точки цієї функції задаються умовою 
. Цій рівності відповідають числа 
та 
, які є комплексно спряженими полюсами 1-го порядку.
Тоді шуканий оригінал можна знайти за допомогою лишків:
;
;
.
Таким чином, .
в) 
.
Розв’язок. Запишемо функцію у вигляді, якій дозволяє скористатися таблицею оригіналів та властивостями перетворення Лапласа.
.
Перший доданок є табличним, оригінал другого доданку можна знайти за допомогою теореми спізнення:
; 
.
Тоді 
. Це означає, що для 
, а для 
.
Остаточно 
.
Приклад 3. Розв’язати за допомогою операційного метода задачу Коші
, 
, 
.
Розв’язок. Застосуємо до диференціального рівняння перетворення Лапласа. Позначимо як 
зображення шуканої функції 
:
.
Тоді зображення похідних цієї функції можна побудувати за теоремою про диференціювання оригіналу:
, 
;
, 
.
Зображення правої частини диференціального рівняння будується за допомогою таблиці зображень найпростіших функцій:
.
Тоді функція буде розв’язком операторного рівняння
.
Розв’яжемо це рівняння.
;
;
.
Знайдемо оригінал, який відповідає отриманому зображенню.
1 спосіб. Запишемо зображення у вигляді суми функцій, оригінали для яких відомі:
;
;
; 
;
; 
.
Тоді шуканий розв’язок задачі Коші дорівнює
.
2 спосіб. Отримане зображення 
є правильним алгебраїчним дробом, отже, шуканий оригінал можна знайти за допомогою лишків:
.
Особливі точки функції – 
та 
– є полюсами 1-го порядку, отже
, або 
.
Полюс є дійсним, а полюси 
та 
– комплексно спряжені, отже,
;
;
;
.
Остаточно, 
.
Завдання для контрольної роботи № 7
Завдання 1. Знайти значення функцій комплексної змінної.
1. а) 
б) 
в) 
2. а) 
б) 
в) 
3. а) 
б) 
в) 
4. а) 
б) 
в) 
5. а) 
б) 
в) 
6. а) 
б) 
в) 
7. а) 
б) 
в) 
8. а) 
б) 
в) 
9. а) 
б) 
в) 
10. а) 
б) 
в) 
Завдання 2. Обчислити інтеграл вздовж замкненого контура.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Завдання 3. Знайти область збіжності степеневого ряду та зобразити її на комплексній площині.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Завдання 4. Знайти лишки функції у всіх її скінченних особливих точках.
1. а) 
б) 
2. а) 
б) 
3. а) 
б) 
4. а) 
б) 
5. а) 
б) 
6. а) 
б) 
7. а) 
б) 
8. а) 
б) 
9. а) 
б) 
10. а) 
б) 
Завдання 5. Знайти операційним методом розв’язок задачі Коші.
1. 
, 
, 
2. 
, 
, 
3. 
, , 
4. 
, 
, 
5. 
, 
, 
6. 
, 
,
7. 
, , 
8. 
, 
,
9. 
, ,
10. 
, , 
