Двухмерное стационарное температурное поле

 

В практике встречаются двухмерные стационарные температурные поля, например поле средней по глубине температуры водоема, поле температуры в сечении ледяного покрова и т. д.

В стационарном двухмерном температурном поле распределение температуры зависит только от двух координат (x, у). Для такого поля дифференциальное уравнение теплопроводности переходит в уравнение Лапласа и имеет вид

∂ ² t/∂x ² + ∂ ² t/∂y ² =0.                                       (2.1)

Аналитическое решение этого уравнения значительно сложнее, чем решение уравнения для одномерного поля. Поэтому в практических задачах для тел, имеющих сложные очертания и сложные граничные условия, аналитическое решение часто не удается получить. В таких случаях решение уравнения (2.1) выполняется приближенными методами, а именно: графическим методом, методом релаксации, электротепловой аналогии и др.

Метод релаксации. Метод релаксации предусматривает замену дифференциалов в уравнении стационарной теплопроводности (2.1) конечными разностями. При такой замене дифференциальное уравнение (2.1) примет вид

∆ ² t/∆x ² + ∆ ² t/∆y ² =0,                                     (2.2)

где ∆x и ∆y — стороны элементарных площадок, на которые разбито двухмерное тело; t — температура в узлах сетки. Построим сетку так, что ∆x = ∆y.

Обращаясь к рис.2.1, найдем вторые производные в конечных разностях по осям x и у в узле 0:

 

 

 

(2.3)

 

где первые производные

(2.4)

Решая уравнение (2.2) совместно с выражениями (2.3) и (2.4) и учитывая, что ∆x = ∆y, получаем

 

(2.5)

 

откуда

t ₁ + t ₂ + t ₃ + t ₄ - 4 t ₀ = 0                                   (2.6)

или

 

(2.7)

 

т. е. температура в узле сетки 0 равна среднему арифметическому значению температуры в соседних узлах. Выражение (2.6) справедливо для любого узла построенной сетки однородного плоского тела.

Рис. 2.1 Схема к расчету методом релаксации [8]

 

Записав уравнение (2.6) для каждого из узлов тепловой сетки, получим систему, состоящую из числа линейных уравнений, равного числу узлов сетки. Для решения этой системы уравнений применяют различные численные методы, и в частности, метод релаксации. Название метода происходит от латинского relaxatio — ослабление, означающего постепенный переход системы в равновесное состояние. Например, если температура в каком-либо узле сетки, зависящая от четырех соседних значений температуры, находится в равновесии с ними, то выполняется уравнение (2.6). Если она не находится в равновесии с соседними значениями температуры, то правая часть этого уравнения не будет равна нулю, т.е.

t ₁ + t ₂ + t ₃ + t ₄ - 4 t ₀ = ∆ t,                                (2.8)

где ∆ t — остаток.

Для сведения к нулю правой части (остатка) каждого из уравнений системы, т.е. для приведения системы в равновесное состояние, и применяется этот метод.

Рассмотрим применение метода релаксаций на примере расчета распределения температуры в поперечном сечении ледяного покрова, канала при отсутствии снега с одной его стороны (рис.2.2). Ледяной покров лежит на воде. Температура поверхности льда под снегом —5°С, на границе —7,5°С, а в зоне отсутствия снега —10°С.

Выполним разбивку сечения толщи покрова на элементарные квадраты со сторонами ∆x = ∆y. Известно, что чем меньше шаг разбивки поля на квадраты, тем точнее решается задача. В рассмотренном примере в целях наглядности и простоты изложения ограничимся минимальным числом квадратов, приняв крупный шаг разбивки поля на квадраты.

Рис.2.2. Расчет температуры в поперечном сечении ледяного покрова канала методом релаксации [8]

 

Назначим температуру в узловых точках полученной сетки сообразно смысловым требованиям граничных условий. Выпишем принятые значения температуры льда у каждой узловой точки, т. е. будем иметь —5, —3,75 и —2,5°С. Затем по уравнению (2.8) вычислим в этих точках остаток ∆ t. Полученный остаток говорит о том, что температура льда в этих точках принята неправильно. Согласно уравнению (2.6), ее необходимо выравнять методом последовательного приближения, начиная с точки, в которой наблюдается максимальный остаток. В рассматриваемом примере максимальный остаток ∆ t_а = +1,25°С получился в точке а.

Для проведения выравнивания температуры (ее увеличения в точке а) изменим ее значение, согласно уравнению (2.8), ∆ t_а /4 = +1,25/4 = + 0,31°С, тогда получим ∆ t_а = —5,00 + 0,31 = = —4,69°С.

С учетом уточненного значения температуры льда в точке a определяем остаток ∆ t_б = +0,31°С в точке б. Затем уменьшим температуру в этой точке на ∆ t_б /4 = +0,31/4 = +0,08°С и получим t_б = —3,75 + 0,08 = —3,67°С. После этого переходим к выравниванию температуры по изложенной схеме в узле в. Если повторный подсчет по уравнению (2.8) по-прежнему выявит остаток ∆ t, то операции по его уменьшению в каждом узле повторяются и до тех пор, пока он не будет равен нулю, что означает, что температура в точках не меняется. Окончательный результат расчета температуры льда в нашем примере приведен на рис.2.2.

Таким образом, метод релаксации заключается в том, что, задаваясь первоначально произвольным, но более или менее вероятным распределением температуры, затем постепенно выравнивают ее последовательным приближением, пользуясь уравнениями (2.7)и (2.8). Следует заметить, что можно вычислить температуру в узлах сетки, пользуясь только уравнением (2.7), т. е. без вычисления остатка. Однако в этом случае объем вычислительных работ несколько больше, чем в первом варианте.

Метод релаксации может быть применен также для оценки двухмерного температурного поля неоднородного тела, в том числе с источниками теплоты и с произвольным шагом разбивки сетки.

Метод электротепловой аналогии (ЭТА). Большое число задач, встречающихся в теплотехнике, которые в настоящее время не могут быть решены теоретически, решаются с успехом экспериментально методом ЭТА. Метод ЭТА относится к физическим (экспериментальным), прост и не требует больших затрат времени и средств на решение поставленной задачи.

Метод электрической аналогии, к которому относится метод ЭТА, применяется в гидравлике, гидродинамике, аэромеханике, гидрологии, теории упругости, механике грунтов, строительной механике, океанологии и других науках. Этот метод теоретически обоснован и впервые внедрен в практику исследования академиком Н.Н.Павловским в 1922 г. при изучении вопроса фильтрации под гидротехническими сооружениями. В настоящее время этот метод широко известен как метод ЭГДА (электрогидродинамическая аналогия). Для решения этим методом различных задач разработаны специальные установки, получившие название электроинтеграторов.

Метод ЭГДА (ЭТА, ЭДА — электродиффузионной аналогии и т. д.) основан на аналогии математической записи двух разных физических явлений: с одной стороны, теплопроводности, диффузии, фильтрации и других в изучаемой среде, а с другой стороны — электропроводности в электропроводном материале, а именно:

1) закона Фурье

 

(2.9)

 

закона Фика

 

(2.10)

 

закона Дарси

 

(2.11)

 

2) закона Ома

 

(2.12)

 

где q ₁, q ₂, q ₃, I — соответственно удельный поток теплоты, диффундирующего вещества, фильтрующей воды, электричества; t, S, H, U — соответственно температура, концентрация, напор, электрический потенциал, изменяющиеся в направлении нормали n; λ, D, k, σ — соответственно коэффициент теплопроводности, диффузии, фильтрации, электропроводности; R _Т = δ/λ, R _Д = δ/ D, R _Ф = δ/ k, R _Э = δ/σ — соответственно термическое, диффузионное, фильтрационное, электрическое сопротивление слоя ∂n = δ.

Указанную аналогию можно так же легко проследить, если перейти от уравнений (2.9) — (2.12) к уравнениям Лапласа, описывающим двухмерные поля:

а) тепловое

∂ ² t/∂x ² + ∂ ² t/∂y ² =0,                                       (2.13)

б) диффузное

∂ ² S/∂x ² + ∂ ² S/∂y ² =0,                                     (2.14)

в) фильтрующих вод

∂ ² H/∂x ² + ∂ ² H/∂y ² =0,                                   (2.15)

г) электрическое

∂ ² U/∂x ² + ∂ ² U/∂y ² =0.                                   (2.16)

Используя представленную аналогию математической записи двух разных физических явлений, на практике по данным электрического поля, полученного в эксперименте на геометрически подобной модели и представляющего собой ортогональную сетку линий тока и эквипотенциалей, находят температурное поле и поток теплоты. Пересчет электрических характеристик в тепловые выполняют с помощью масштаба температуры

m_t = ∆t / ∆U = (t _макс - t _мин)/(U _макс - U _мин)          (2.17)

и масштабов теплового потока и термического сопротивления:

m_q = q/I = m_t / m_R,                                            (2.18)

m_R = R _Т/ R _Э,                                                   (2.19)

где ∆t и ∆U — перепад температуры и электрического потенциала в сходственных точках; t _макс и t _мин — максимальное и минимальное значения температуры.

Рис. 2.3. Электрическая модель толщи многолетием мерзлоты (1) с рекой (3).

Температура воды в реке +4°С, поверхности многолетней мерзлоты —10°С.

Ũ — значение электрического потенциала в долях единицы

 

Для получения электрических характеристик используется прибор, собранный по мостовой схеме, для которой справедливо соотношение

r ₁/ r ₂ = R ₁/ R ₂ = (U ₁ - U_x)/ (U_x – U ₂).               (2.20)

В выражении (2.20) R ₁ и R ₂ — сопротивления частей электрической модели влево и вправо от эквипотенциальной линии, a U_x — значение электрического потенциала на эквипотенциальной линии. В качестве электрической модели, заменяющей изучаемое тело, обычно применяют электропроводящую бумагу, а при решении пространственных задач — электролит.

На рис.2.3 показана схема прибора, на котором решается, например, задача об определении нулевой изотермы под рекой, протекающей в районе многолетней мерзлоты. В схему прибора входит электрическая модель 1, вырезанная из токопроводящей бумаги. По верхнему и нижнему участкам контура этой модели наложены металлические шины 2, 3, 4, на которые подается электрический потенциал, пропорциональный заданной температуре на этих участках. Шины соединены с источником электропитания. В цепь включен также делитель напряжения 5. Он предназначен для задания местонахождения очередной искомой эквипотенциали. Положение же эквипотенциали на модели определяется с помощью иглы 6, включенной в электрическую цепь через гальванометр 7 и подвижной контакт 8. В электрическую цепь должны быть включены также амперметр A и вольтметр V.

Работа на приборе ЭТА заключается в следующем. С помощью подвижного контакта 8 поочередно изменяем сопротивление левой и правой частей делителя напряжения 5 (r ₁ и r ₂ ). Одновременно при каждом положении контакта 8 ищем иглой 6 точки на модели, соответствующие нулевым показаниям гальванометра 7. Соединяя полученные точки плавными линиями, получаем эквипотенциали. После этого строим от руки линии тока, соблюдая ортогональность пересечения их с эквипотенциалями и добиваясь сетки, состоящей из криволинейных квадратов.

Выше установлено, что электрические и температурные поля аналогичны. Поэтому полученные линии равных потенциалов можно принять за изотермы.

Для пересчета электрических потенциалов в температуру (или силы тока в тепловой поток) следует воспользоваться масштабами m_t и m_q. Все расчеты удобнее вести в относительных единицах, приняв за единицу разность потенциалов и перепад температуры. В этом случае пересчет полученных в точках модели значений потенциала в температуру следует осуществлять по формуле

t_i = t _мин + (t _макс - t _мин) Ũ_i,                                (2.21)

где Ũ_i — значение электрического потенциала в точке в долях единицы.

Рассмотренный метод может быть успешно применен также для расчета температурных полей в слоистых и неоднородных средах как с граничными условиями первого рода, так и с граничными условиями третьего рода. В последнем случае термическое сопротивление на поверхности исследуемого тела учитывается путем добавления к электрической модели дополнительного слоя, равного l = λ/α.

3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

 

В настоящее время аналитическим путем решено очень большое количество одномерных задач теплопроводности.

А.В.Лыков, например, рассматривает четыре метода решения уравнения теплопроводности в условиях одномерной задачи: метод разделения переменных, метод источников, операционный метод, метод конечных интегральных преобразований.

В дальнейшем остановимся только на первом методе, получившем наибольшее распространение.