2020-01-15
192
20.1. Система Максвелла-Больцмана. Характеризуется как система 
разных частиц, каждая из которых может находиться в одной из 
ячеек (состояний) вне зависимости от того, где при этом находятся остальные частицы. Чему равно число различных размещений 
частиц по ячейкам в этой системе? Первую частицу можем поместить в любую из ячеек, то есть способами. Вторую частицу также можно поместить в любую из ячеек и т.д. Таким образом, имеется всего 
разных размещений частиц по ячейкам. Если при этом все размещения (состояния системы) считаются равновероятными, то говорят, что система частиц подчиняется статистике Максвелла-Больцмана. Вероятность каждого состояния равна 
.
20.2. Систем Бозе-Эйнштейна. Определяется как система 
неразличимых (тождественных, одинаковых) частиц, каждая из которых независимо от остальных может находиться в одной из 
ячеек (состояний частицы). Поскольку частицы неразличимы, каждое состояние такой системы задается "числами заполнения" 
, где 
— число частиц в 
ячейке. Подсчитаем число разных состояний системы, то есть число размещений частиц, различающихся лишь числами заполнения.
|
|
|
20.2.1. Состояние системы удобно представить рис.20.1, где черточкой изображается граница ячейки, а точкой — частица.
Рис. 20.1. Состояние системы частиц.
Конфигурация (состояние) из точек и 
границы полностью определяется положениями внутренних 
черточек. Две крайние черточки закреплены и перемещаться не могут. Отметим, что если поменять местами любые две или несколько частиц, то конфигурация (состояние) не изменится ввиду неразличимости частиц. Точно также конфигурация не изменится, если поменять местами две внутренние черточки. Однако каждый раз, когда меняются местами частица и черточка будет получено новое состояние системы. Число черточек и частиц равно 
, а общее число перестановок черточек и частиц равно 
. Из них существует 
перестановок черточек межу собой, которые не приводят к новому состоянию, а также существует 
перестановок частиц между собой, не приводящие к новым состояниям. Поэтому число разных состояний системы равно:
. (20.1)
Это число в комбинаторике называют числом сочетаний с повторениями из по . Если все состояния системы равновероятны, то говорят, что система частиц подчиняется статистике Бозе-Эйнштейна. При этом вероятность каждого состояния равна
. (20.2)
20.2.2. Если число частиц 
— не меньше числа ячеек, то можно дополнительно потребовать, чтобы в каждом состоянии ни одна ячейка не оставалась пустой. При этом число возможных состояний уменьшится по сравнению с (20.1). Определим это число. Для этого "приклеим" к каждой из 
черточек справа по одной точке, исключив последнюю 
-ю (правую) черточку. Теперь, переставляя границу ячейки в виде "черточка + частица", будем получать состояния, когда в каждой ячейке будет не менее одной частицы. Всего имеется, как и в первом случае, 
границ, которые можно переставлять, а также 
— число границ плюс свободных частиц, поскольку частиц "приклеены". Общее число перестановок границ и свободных частиц равно 
. Среди них 
перестановок между собой границ, которые не приводят к новым состояниям, а также 
перестановок между собой свободных частиц, которые также не дают новых состояний. Поэтому число разных состояний системы равно
|
|
|
, . (20.3)
20.3. Система Ферми-Дирака. Определяется как система Бозе-Эйнштейна, в которой дополнительно действует принцип запрета (принцип Паули), требующий, чтобы в каждой ячейке находилось не более одной частицы. Частицы и в этом случае неразличимы, поэтому состояние системы характеризуется числами заполнения 
для 
. Очевидно, в данном случае число частиц 
— числа ячеек (состояний частицы). Состояние системы можно задать, выбирая заполненных ячеек из общего числа ячеек. Число разных способов выбора равно 
. Если все состояния равновероятны, то говорят о статистике Ферми-Дирака. При этом вероятность каждого состояния равна
. (20.4)
Статистике Максвелла-Больцмана подчинены системы молекул газа в классической статистической физике. Системы частиц с целым и полуцелым спином подчиняются соответственно статистикам Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака.
