2020-01-15
101
Определитель
Вандермонда
При условии: x0¹xj при i¹j определитель системы (6.1) отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение.
Вывод:
если задано разбиение в виде n+1различной точки, то всегда существует функция в виде полинома n-ой степени, которая проходит через все точки графика ¦(c),определенной на этом разбиении.
Посторонние приближения функции при помощи полиномов указанным способом весьма трудоемко и обладает большой вычислительной погрешностью, поэтому его использование для большого числа узлов интерполяции нецелесообразно.
Лагранж предложил строить интерполяционные полиномы в виде:
Pn(x)=∑ Ci li(x) (6.2)
Ci=yi=¦(ci), li(x)=полиномы n-ой степени, которые удовлетворяют условию:
Для полинома узлы интерполяции xj, j=0,n, j≠I являются корнями, причем действительными и попарно различными (все имеют кратность 1)
Тогда полином li может быть записан в виде:
(6.3)
Общий вид полинома Лагранжа:
|
|
|
(6.4)
Встает вопрос о точности, о приближения функции. Вводится понятие остаточного члена многочлена Лагранжа; для того, чтобы оценить аппроксимации ¦(c) в некоторой точке x Î[a;b]
Функцию ¦(c) представим в виде ¦(c)= Pn(x)+Rn(x), где Rn(x)- остаточный член многочлена Лагранжа в процессе длительного и трудоемкого вывода для Rn(x) получена следующая формула:
(6.5)
Строится система вложенных отрезков
¦(n+1) -производная (n+1)-го порядка
Пусть 
(6.6)
Если ¦(c)-полином n-ой степени, то производная (n+1)-го порядка равна 0, тогда Rn(x)≡0 и мы получаем точную аппроксимацию.
Теорема:
Многочлен Лагранжа вида (6.4) для таблично заданной функции единственен.
Доказательство:
Пусть Qn(x)- многочлен Лагранжа, построенный для этой же функции ¦(c) по тем же узлам интерполяции. Qn(x) ¹Pn(x) Qn(xi)=yi=Pn(xi), 
Рассмотрим многочлен Ln(x)= Qn(x)-Rn(x)-это многочлен n-ой степени, для которого точки xi, i=0,n являются корнями. Это противоречит основной теореме алгебры, которая говорит о том, что полином n-ой степени имеет ровно n корней. А Ln(x) имеет n+1 корней. Противоречие доказывает теорему.
