Интерполяционная схема Эйткина

Поскольку при большом числе узлов интерполяции вычисление значения полинома Лагранжа по формуле (6.4) громоздко, необходимо получить рекуррентную формулу.

Пусть ¦(c)- непрерывна, узлы выбраны на отрезке [a;b] таким образом, что:

Введем функцию

x_i-узлы интерполяции;

y_i=¦(c)

Полином Лагранжа: P_n (x) см. (6.4)

Таким образом, функция Q_0,1 (x) представляет собой полином Лагранжа l-ой степени, построенной по узлам x₀ ,x₁  введем функцию вида

Функция Q_1,2 (x)- интерполяционный полином Лагранжа, построенный по узлам   x₁ ,x₂.

Введем теперь функцию  

Аналогично:

Q_0,1,2 (x₂)= у₂

В силу единственности полинома Лагранжа, построенного по узлам    x₀, x₁,x₂      

функция Q_0,1,2 (x) представляет собой интерполяционный полином Лагранжа 2-ой степени, построенный по узлам x₀, x₁,x₂ .    

Введем функцию:

                      (7.1)

    Функция представляющая собой полином Лагранжа 2-ой степени, построенного по узлам x₀, x_1,…x_i.

Формула   (7.1) позволяет рекуррентно вычислять полином Лагранжа любой степени.

Т.к. (7.1) представляет собой альтернативную форму записи интерполяционного полинома, точность приближения функции также может быть оценена по формуле (6.5)

(7.1)-интерполяционная схема Эйткина.

 

КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ

 

Пусть функция ¦(c) задана на системе равноотстоящих узлов x_i=x₀+ih,

где h-шаг сетки, y_i=¦(c_i).

Конечной разностью первого порядка в точке x₀ называется ∆y₀=y₁-y₀

Конечной разностью первого порядка в точке x_i: ∆y_i=y_i+1-y₀-y_i

Конечной разностью второго порядка в точке x₀: ∆²y₀=∆y₁-∆y₀

Конечной разностью второго порядка в точке x_i: ∆²y_i=∆y_i+1-∆y_i

 

Общая формула для конечной разности k-того порядка в точке x_i:

                  ∆^ky_i=∆^k-1y_i+1-∆^ky                          (7.2)

 

Заметим: ∆⁰y_i= y_i

Формула (7.2) позволяет вычислять рекуррентно конечные разности

Связь конечных разностей и производных

 

чем меньше h, тем точность выше

 

Аналогично можем получить связь

   ;               (7.3)