Свойства конечных разностей

В связи с производными вида (7.3)конечные разности обладают свойствами:

1. постоянные, равны нулю;

2. постоянный множитель у функции выносится за знак

3. суммы 2-х функций равны сумме каждой функции

4. полинома n-ой степени, n-го порядка постоянны и равны

 

∆ⁿy=hⁿa_nn!

a_n-коэффициент при xⁿ полинома R_n(x)

Верно и обратное утверждение: все конечные разности n-го порядка некоторой функции постоянны и одинаковы, конечные разности n +1-го порядка равны 0, а конечные разности n-1-го порядка различны, то функция представляет собой полином n-ой степени.

Распространение ошибки в исходных данных при вычислении конечные разности

 

Любые измерения несут в себе погрешность (ошибка округления, точность измерения приборов)

Пусть значения функции определены в узлах x₀,    и в некоторой точке x_k значение некоторой точке x_k значение функции найдено с ошибкой ε, т.е ỹ_k+ ε

Составим таблицу конечных разностей

 

x_k-2         y_k-2          ∆y_k-2                    ∆²y_k-2                          ∆³y_k-3 + ε

x_k-1         y_k-1       ∆y_k-1 + ε           ∆²y_k-2 + ε               ∆³y_k-2 -3 ε

x_k      y_k+ε   ∆y_k-1 - ε           ∆²y_k-1 - 2 ε                ∆³y_k-1 + 3 ε

x_k+1    y_k+1       ∆y_k+1                   ∆²y_k+ ε                ∆³y_k- ε

x_k+2    y_k+2                                 ∆²y_k+1

 

Как видно из таблицы конечных разностей при увеличении порядка конечных разностей ошибка в исходных данных распространяется и растет.

Такое взаимодействие ошибок называют шумом, если это ошибки округлений - то шумом округлений.

Если ошибки округлений достаточно большие, то может происходить следующее явление: при увеличении порядка конечных разностей они могут уменьшаться и→0, но, дойдя до некоторого малого значения, опять могут начать расти из-за шума округлений.

Столбец в таблице конечных разностей, в которой все конечные разности ≈0, называют «практическим постоянным»; при этом конечные разности высших порядков не используют.

Для интерполяции целесообразно использовать многочлен такой степени, которая совпадает с порядком «практической постоянной» конечных разностей.

ЛЕКЦИЯ №8