Тетрагональная сингония

КРИСТАЛЛОГРАФИЯ

                   СИММЕТРИЯ

                 Лекция 4

ЛЕКЦИЯ 4

СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ

 

4.1. Системы обозначения классов симметрии

4.2. Точечные группы симметрии

4.3. Формы кристаллов

4.4. Кристаллографические проекции

4.5. Определение символов граней и рёбер кристалла. Закон зон

 

 

Системы обозначения классов симметрии

Все кристаллы делятся на 3 категории, 7 сингоний, 32 класса симметрии и 230 пространственных групп. Каждый из 32 классов симметрии обозначается специальным символом. Все символы основаны на теоремах о сочетании операций симметрии.

Формула симметрии состоит из записанных подряд всех элементов симметрии данного объекта. На первом месте принято писать оси симметрии от высших к низшим, на втором – плоскости симметрии, на третьем – центр. Например, куб имеет: три оси симметрии 4-го порядка, четыре оси симметрии 3-го порядка, шесть осей 2-го порядка; 9 плоскостей симметрии и центр сим­метрии. Формула куба записывается: 3L₄4L36L₂9PC. Здесь L – ось симметрии, Р – плоскость симметрии, С – центр симметрии.

В литературе по кристаллографии приняты следующие международные символы.

 

Международные символы (символы Германа - Могена)

 

1. Ось симметрии n-го порядка – n.

2. Инверсионная ось симметрии n-го порядка – n.

3. Плоскость симметрии – m.

4. Ось симметрии n-го порядка и n плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё – nm.

5. Ось симметрии n-го порядка и перпендикулярная ей плоскость симметрии – n/m.

6. Ось симметрии n-го порядка и n осей 2-го порядка, ей перпендикуляр­ных, – n2.

7. Ось симметрии n-го порядка и плоскости m, параллельные и перпенди­кулярные ей – n/mm.

Примечание: n и n могут иметь значения 1, 2, 3, 4, 6.

 

Международные названия классов

 

1. Примитивный.

2. Центральный.

3. Планальный.

 

 

4. Аксиальный.

5. Планаксиальный.

6. Инверсионно–примитивный.

7. Инверсионно–планальный.

 

Указанные классы содержат следующие сингонии:

 

Примитивный класс

 – триклинную 1;

– тригональную 3;

 – тетрагональную 4;

– гексагональную 6;

– кубическую 23.

Центральный класс

– триклинную 1;
  – тригональную 3;

– тетрагональную 4/m;

– гексагональную 6/m;

– кубическую m3.

Планальный класс

– моноклинную m;

– ромбическую mm2;

– тригональную 3m;

– тетрагональную 4mm;

– гексагональную 6mm;
  – кубическую 4 3m.

Аксиальный класс

– моноклинную 2;

– ромбическую 222;

– тригональную 32;

– тетрагональную 422;

– гексагональную 622;

– кубическую 432.

Планаксиальный класс

– моноклинную 2/m;

– ромбическую mmm;
  – тригональную 3 m;

– тетрагональную 4/mmm;

– гексагональную 6/mmm;

– кубическую m3m.

Инверсионно-примитивный класс

– тетрагональную 4;

– гексагональную 6.

Инверсионно-планальныйкласс

   – тетрагональную 4 2m;

– гексагональную 6 m2.

 

В символах всех классов низшей категории стоят на первой позиции – ось симметрии, на второй – координатные элементы симметрии, на третьей – диагональные. Например: символ 4mm означает, что в кристалле имеется: ось 4-го порядка (ось Z); две координатные плоскости (XOZ и УOZ); две плоскости симметрии, проходящие через ось Z и биссектрисы углов между осями Х и У.

В символах классов высшей категории (кубической сингонии) цифра 3 на второй позиции условно символизирует четыре оси 3-го порядка, проходя­щие по биссектрисам координатных углов. Оси симметрии 4-го порядка всегда совпадают с осями координат. Оси симметрии 2 и плоскости m могут быть ко­ординатными или диагональными:

- если их три, то они координатные;

- если их шесть, то они диагональные;

- если их девять: три из них - координатные и шесть - диагональные.
Например: символ m3 означает: четыре оси 3-го порядка по биссектрисам

координатных углов; три координатные плоскости. Символ m3 равнозначен символу 3L₂4L₃3PC. Перестановка буквы или цифры в символе с одной по­зиции на другую полностью меняет смысл символа. Например: символ 3m означает единственную и главную ось симметрии 3-го порядка, т. е. принад­лежность кристалла к тригональной сингонии.

В физике твёрдого тела, оптике и рентгеноструктурном анализе использу­ют другие символы – символы Шенфлиса.

 

Символы Шенфлиса

 

С – одна единственная ось симметрии;

D – ось симметрии и оси 2-го порядка, перпендикулярные ей;

Т, О – набор осей симметрии кубических тетраэдра и октаэдра.

Например: С_nv – одна вертикальная полярная ось n-го порядка и n плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё; Оh – оси симметрии октаэдра и коор­динатные плоскости.

Рассмотрим, какие классы принадлежат разным сингониям.

 

Триклинная сингония

Голоэдрический класс – пинакоидальный. Единственный элемент симметрии - центр симметрии. Общая форма – пинакоид. Поскольку каждая форма состоит из пары параллельных граней, в реальных кристаллах должно сущест­вовать не меньше трех таких форм. Этот вид симметрии выражен в плагиокла­зах, кианите и родоните.

Моноклинная сингония

Голоэдрический класс – призматический. Элементы симметрии: 1 двойная ось, 1 плоскость (под прямым углом к оси) и центр симметрии. Общая фор­ма – призма. Особые формы - различные виды пинакоидов. Примерно полови­на всех известных кристаллических веществ относится к этому классу, а среди ювелирных материалов: ортоклаз, сподумен, эвклаз, сфен и эпидот.

Ромбическая сингония

Голоэдрический класс – ромбобипирамидальный. Элементы симметрии: 3 взаимно перпендикулярные двойные оси, 3 плоскости (под прямым уг­лом к осям) и центр симметрии. Общая форма – бипирамида. Особые формы – пинакоиды и призмы. По значению этот класс занимает второе место. К нему принадлежат:  топаз, оливин, хризоберилл и другие менее известные минералы.

Тетрагональная сингония

Голоэдрический класс – дитетрагонбипирамидальный. Элементы симметрии: 1 тетрагональная ось и 4 двойные оси, перпендикулярные ей, 5 плоско­стей симметрии (под прямым углом ко всем осям) и центр симметрии. Особых форм много. Например, если произвольно расположенная грань повторяется в виде четырех пар граней вокруг четверной оси, а они отражаются симметрич­но в нижней части кристалла, то образуется дитетрагональная бипирамида. Примерами минералов этого класса служат: циркон, касситерит и везувиан.

Тетрагонбипирамидальный класс. Элементы симметрии: 1 тетрагональ­ная ось, 1 плоскость (под прямым углом к оси) и центр симметрии. Общая форма – восьмигранная тетрагональная бипирамида без тех плоскостей симметрии, проходящих через тетрагональную ось, которые создают дитетрагональную симметрию и характерны для голоэдрии.

Особые формы: пинакоид (развивающийся из граней, расположенных под прямым углом к оси 4-го порядка), тетрагональные призмы (из граней, параллельных этой оси). К этому классу относится скаполит, которому иногда при­дают огранку драгоценного камня.