Інваріантне означення дивергенції

Нехай в області , обмеженій поверхнею , визначено векторне поле . Запишемо формулу (8) для векторного поля в області . Застосовуючи до лівої частини цієї формули теорему про середнє, отримаємо

або

де – об’єм області , а – деяка точка області .

Зафіксуємо точку і стягуватимемо область до точки так, щоб залишалася внутрішньою точкою області . Тоді , а прямуватиме до . Внаслідок неперервності значення прямуватиме до . Таким чином, отримуємо

. (9)

У праву частину формули (9) входять величини, інваріантні відносно вибору системи координат (потік векторного поля через поверхню і об’єм області). Тому формула (9) дає інваріантне означення дивергенції векторного поля. Отже, дивергенція векторного поля залежить тільки від самого поля і не залежить від вибору системи координат.

Циркуляція векторного поля

Розглянемо векторне поле , визначене в просторовій області , і деяку кусково-гладку криву , на якій вказано напрям обходу (вибір напряму обходу називають також орієнтацією кривої). Нехай – одиничний дотичний вектор до кривої у точці , напрямлений в сторону обходу кривої.

Криволінійний інтеграл

(10)

називається циркуляцією векторного поля вздовж кривої у заданому напрямі.

Якщо взяти інший напрям обходу кривої (змінити орієнтацію), то вектор змінить напрям на протилежний, тому скалярний добуток , а, отже, і циркуляція (криволінійний інтеграл (10)) змінить знак.

Якщо – силове векторне поле, тобто – вектор сили, то циркуляція визначає роботу силового векторного поля вздовж кривої в заданому напрямі.

Якщо в прямокутній системі координат , а , то вираз (10) для циркуляції векторного поля можна записати в вигляді

. (11)

Кожний доданок у правій частині (11) залежить від вибору системи координат, проте їхня сума, тобто циркуляція , очевидно, не залежить від вибору системи координат.