2020-01-14
428
49.1. Вычислим производную порядка 
характеристической функции (46.1) при 
:
, (49.1)
где 
- начальный момент 
порядка случайной величины 
. Пусть существуют все моменты 
, 
, тогда существуют производные (49.1) характеристической функции при . Поэтому функцию 
можно разложить в ряд Тейлора около точки :
. (49.2)
Отметим, что здесь первое слагаемое 
. Выражение (49.2) называют иногда разложением характеристической функции по моментам, имея ввиду тот факт, что коэффициенты при 
определяются начальными моментами 
.
Для непрерывной случайной величины с плотностью вероятности 
соотношение (49.1) можно представить в виде:
. (49.3)
Таким образом, существование производной порядка характеристической функции при (или начального момента 
) определяется поведением плотности вероятности при 
, от которого зависит существование интеграла (49.3).
49.2. Функция
(49.4)
называется кумулянтной функцией случайной величины 
. Кумулянтная функция является полной вероятностной характеристикой случайной величины, также, как и 
. Смысл введения кумулянтной фукнции заключается в том, что эта функция зачастую оказывается наиболее простой среди полных вероятностных характеристик, т.е. среди 
. Например, для гауссовой случайной величины из (48.5) следует
. (49.5)
Кумулянтную функцию можно представить рядом, аналогично соотношению (49.2) для характеристической функции:
, (49.6)
где число
(49.7)
называется кумулянтом порядка случайной величины . Из (49.7) следует 
, поэтому суммирование в (49.6) можно начинать с 
, а поскольку 
для любой случайной величины, то 
не является характеристикой случайной величины.
Вычислим кумулянты для гауссовой случайной величины. Из (49.7), (49.5)
, (49.8)
. (49.9)
Для 
производная 
, следовательно, гауссова случайная величина имеет только два кумулянта 
и 
отличных от нуля, остальные кумулянты - нулевые. Поэтому ряд (49.6) для гауссовой величины состоит из двух слагаемых.
