Квадратные уравнения. Теорема Виета (прямая и обратная)

Определение. Квадратным уравнением (или уравнением второй степени) называется уравнение вида , где - заданные числа, причем , а - неизвестное. Числа называются коэффициентами квадратного уравнения: - коэффициент при квадрате неизвестного, - коэффициент при неизвестном в первой степени, - свободный член.

Квадратное уравнение называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов или равен нулю.

Неполное квадратное уравнение - это уравнение одного из следующих видов:

Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения.

1. Уравнение имеет единственный корень .

2. Уравнение равносильно уравнению . Возможны два случая.

Если , то , и поэтому уравнение не имеет действительных корней.

Если , то , и уравнение имеет два корня: , .

Действительно, перенося в уравнении величину в левую часть, получаем .

Так как , то . Поэтому .

Разложив левую часть этого уравнения на множители, получим .

Данное произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Рассматривая , получим ; рассматривая , находим .

Следовательно, уравнение при имеет два корня; , что и утверждалось. Ответ часто записывается в виде .

Например, неполное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Для неполного квадратного уравнения получаем

Это уравнение можно решить по-другому:

3. Уравнение можно решить с помощью разложения его левой части на множители. Очевидно, что , откуда , . Например, , откуда , .

В общем случае для решения квадратных уравнений применяется метод выделения полного квадрата. [5, c.120]

Применение этого метода поясним сначала на примерах.

Пример 1. Решить квадратное уравнение

Решение. Разделим обе части уравнения на :

Применим метод выделения полного квадрата: .

Поэтому получим

откуда . Следовательно,

, .

Можно выделить полный квадрат в исходном уравнении и без предварительного деления на (коэффициент при квадрате неизвестного):

Поэтому

и т.д. [2, c.107]

Рассмотрим теперь квадратное уравнение общего вида

. (1)

Применим метод выделения полного квадрата. Для этого запишем левую часть уравнения в следующем виде:

.Поэтому

или . (2)

Дальнейшее решение зависит от знака правой части полученного уравнения (2).

Так как , то знак правой части совпадает со знаком выражения . [15, c.163]

Определение. Выражение называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой : .

Рассмотрим три случая: .

1. .

В этом случае уравнение (2) можно записать так:

;

следовательно,

откуда

, (3)

или

, (4)

где - дискриминант уравнения (1).

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при , уравнение имеет два различных корня, которые можно найти по формуле (3) или (4).

2. .

В этом случае уравнение (2) принимает вид

откуда , т.е. .

Таким образом, если дискриминант равен нулю, т.е. , то уравнение имеет единственный корень .

Заметим, что формула (3) или, что то же, (4) применима и в случае . В самом деле, эта формула дает единственный корень уравнения (1). Говорят также, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня: . Такое соглашение освобождает нас от специальных оговорок, относящихся к этому случаю при формулировке свойств квадратных уравнений.

3. .

В этом случае в правой части уравнения (2) стоит отрицательное число, а в левой части - неотрицательное (положительное или равное нулю). Следовательно, если , то уравнение (2), а значит, и уравнение не имеют действительных корней.

Вывод. Квадратное уравнение имеет действительные корни только при дискриминанте ; если , то корни различные; если , то корни равные. Формула корней квадратного уравнения имеет вид (3) или (4). [15, c.165]

По этой формуле можно находить и корни неполных квадратных уравнений, но проще вычислять их путем разложения левой части неполного квадратного уравнения на множители, как было показано.

Замечание 1. Если коэффициент - четное число, т.е. , то формула корней квадратного уравнения примет вид

. [2, c.114]

Например, вычислим корни уравнения (заметим, что уравнение имеет действительные корни, так как ):

Замечание 2. Если коэффициент , то квадратное уравнение принимает вид . Такое квадратное уравнение называется приведенным квадратным уравнением. Всякое квадратное уравнение можно привести к виду делением обеих частей уравнения на . [2, c.117]

Найдем корни приведенного квадратного уравнения. В формуле (3) полагаема . Тогда

- формула корней приведенного квадратного уравнения .

Например, решим уравнение :

Откуда

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Разложив знаменатели на множители, имеем

После приведения дробей к общему знаменателю получим уравнение или , равносильное исходному уравнению, при условии, что , т.е. , . Находим корни приведенного квадратного уравнения:

откуда , . Так как не удовлетворяет ограничению (не входит в ОДЗ исходного уравнения), то, следовательно, исходное уравнение имеет единственный корень . [2, c.124]

Теорема Виета. Если квадратное уравнение имеет действительные корни и , то их сумма равна и произведение равно :

, . (5)

Формулы (5) называются формулами Виета.

Доказательство. По условию дискриминант квадратного уравнения . Тогда по формуле (4) уравнение имеет два корня:

, .

Найдем сумму и произведение корней:

и формулы (5) получены.

Теорема Виета устанавливает связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами.

Для приведенного квадратного уравнения с дискриминантом формулы (5) принимают вид

, . (6)

Полученные для приведенного квадратного уравнения формулы Виета читаются так: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при неизвестном в первой степени, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Если корни квадратного уравнения действительные , то формулы Виета позволяют по знакам коэффициентов уравнения определить знаки корней. Например, если , , (и, следовательно, ), то и корни имеют разные знаки. Так как при этом , то отсюда следует, что больший по модулю корень отрицателен (сумма двух чисел разных знаков отрицательная!). [5, c.126]

Теорема (обратная теореме Виета). Если числа таковы, что , , то и - корни уравнения .

В теореме Виета для приведенного квадратного уравнения утверждалось, что для его корней , и коэффициентов справедливы формулы (6).

В обратной теореме Виета утверждается: если для чисел справедливы формулы (6), то и - корни приведенного квадратного уравнения .

Доказательство. Рассмотрим и получим . Очевидно, что и - корни уравнения и, значит, уравнения . [5, c.127]

Теорема Виета и теорема, обратная ей, часто применяются при решении различных задач.

Пример 3. Не решая уравнения , определить знаки его корней.

Решение. Дискриминант этого уравнения положителен, так как . Следовательно, уравнение имеет действительные корни и . По теореме Виета ; корни имеют одинаковые знаки. Так как по теореме Виста , то корни и - положительные. [2, c.119]