Уравнения, приводимые к линейным и квадратным

Уравнение вида

(, - натуральное)

называется алгебраическим уравнением n-й степени. Его левая часть - многочлен n-й степени относительно . Уравнение первой степени и квадратное уравнение являются его частными случаями при и соответственно.

Уравнения, в которых неизвестное содержится под знаком корня, называются иррациональными.

Всякое иррациональное уравнение с помощью элементарных преобразований (умножения, деления, возведения в целую степень обеих
частей уравнения) может быть сведено к рациональному алгебраическому уравнению. При этом следует иметь в виду, что полученное
рациональное алгебраическое уравнение может оказаться не эквивалентным исходному иррациональному уравнению, а именно может
содержать «лишние» корни, которые не будут корнями исходного
иррационального уравнения. Поэтому, вычислив корни полученного
алгебраического уравнения, необходимо проверить, будут ли все они
также и корнями исходного иррационального уравнения.

В общем случае трудно указать какой-либо универсальный метод решения любого иррационального уравнения, так как желательно, чтобы в результате преобразований исходного иррационального уравнения получилось не просто какое-то рациональное алгебраическое уравнение, среди корней которого будут и корни данного иррационального уравнения, а рациональное алгебраическое уравнение, образованное из многочленов как можно меньшей степени. Желание получить рациональное алгебраическое уравнение, образованное из многочленов как можно меньшей степени, вполне естественно, так как нахождение всех корней рационального алгебраического уравнения само по себе может оказаться довольно трудной задачей, решать которую полностью мы можем лишь в весьма ограниченном числе случаев. [23, c.107]

Рассмотрим примеры решения некоторых алгебраических уравнений степени , а также иррациональных уравнений.

Пример 1. Решить уравнения:

а) ; б)

Решение. Оба уравнения можно решить разложением левой части на множители. Проще поступить по-другому:

а) ;

б) . [5, c.131]

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Используем разложение на множители:

или .

Поэтому , откуда и . Получим ; дискриминант квадратного уравнения ; следовательно, квадратное уравнение действительных корней не имеет.

Значит, - единственный действительный корень данного уравнения. [5, c.131]

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Заметим важную особенность уравнения: его левая часть содержит неизвестное в виде выражения . Поэтому для решения этого уравнения используем метод введения нового неизвестного. Пусть , где - новое неизвестное. Тогда данное уравнение приводится к квадратному уравнению относительно : .

Решая его, получаем , .

Теперь найдем . Решая уравнение или ,

получаем , .

Решая уравнение или ,

получаем , .

Итак, , , , - все корни данного уравнения.

Отметим, что без введения нового неизвестного решить данное уравнение четвертой степени было бы затруднительно. [5, c.132]

Пример 4. Решить биквадратное уравнение .

Решение. Биквадратное уравнение - важный частный случай уравнения четвертой степени. Заменой биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению , которое имеет действительные корни только в случае, когда его дискриминант неотрицательный. Тогда возможны следующие случаи, (в зависимости от корней вспомогательного квадратного уравнения):

1) , ; биквадратное уравнение имеет четыре действительных корня: , .

2) , ; биквадратное уравнение имеет два действительных
корня: .

Очевидно, аналогично и при , .

3) , ; биквадратное уравнение не имеет действительных корней.

Например, решим биквадратное уравнение . Полагаем . Тогда ; дискриминант ; корни , . Решая уравнение , получаем . Уравнение действительных корней не имеет. [23, c.103]