Уравнения четвертой степени

Перейдем к исследованию уравнения

,       (1)

четвертой степени. Рассмотрим его способ.

Перенесем три последних члена уравнения (1) в правую часть и прибавим к обеим частям   

Тогда получится:

Затем прибавляем к обеим частям последнего уравнения сумму

Уравнение примет вид:

, (2)

Подберем вспомогательное неизвестное  так, чтобы правая часть последнего уравнения превратилась в полный квадрат. Это будет очевидно, в том случае, когда

Но

Поэтому должно быть:

Если раскрыть скобки, то после некоторых преобразований получится также уравнение третьей степени относительно y:

 

Пусть  какой-нибудь корень этого уравнения. Подставляя его в уравнение (2), превратим его правую часть в полный квадрат

Отсюда

или

Эти два квадратных уравнения и дадут нам все четыре корня уравнения четвертой степени. [24, c.112]

Итак, решение уравнения четвертой степени сводится к решению одного уравнения третьей степени и двух уравнений второй степени.

Пример. Найдем корни уравнения

Здесь , , , . Следовательно, y должно удовлетворять уравнению

Приводим последнее уравнение к трехчленному виду, полагая в нем

Получаем  откуда  а потому

Затем находим  и .

Мы видим, что  и  имеют положительные знаки, так как произведение  отрицательно. Поэтому полагаем ,  (с таким же успехом можно было взять , ). Отсюда получаются такие квадратные уравнения:

   

или

 

Решая первое уравнение, получаем  

Решая второе уравнение, получаем

 

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком

Абсолютной величины.

Эти уравнения можно свести к уравнениям, не содер­жащим знака абсолютной величины, используя ее определение. Так, решение уравнения

,  (1)

сводится к решению двух уравнений с дополнительными условиями.

1. Если , то уравнение (1) приводится к виду

,   (2)

Решения этого уравнения: , . Условию  

удовлетворяет лишь второй корень квадратного уравнения (2), и, следовательно, число 3 является корнем исходного уравнения (1).

2. Если , то уравнение (1) приводится к виду

.

Корнями этого уравнения будут числа  и . Первый корень  не удовлетворяет условию  и поэтому не является решением уравнения (1).

Таким образом, решениями уравнения (1) будут числа 3 и .

Заметим, что коэффициенты уравнения, содержащего неизвестное под знаком абсолютной величины, можно подобрать так, что решени­ями будут все, значения неизвестного, принадлежащие некоторому промежутку числовой оси. Например, решим уравнение

,      (3)

Отметим на числовой оси точки 0 и 3 (нули функций, стоя­щих под знаком абсолютной величины). Эти точки разобьют числовую
ось на три промежутка (рис. 1):

; ;

На этих промежутках:

1) при  уравнение (3) приводится к виду  и в промежутке  решений не имеет.

 

                                       0                         3                    х

                                                     Рис. 1

 

Аналогично при  уравнение (3) приводится к виду  и в проме­жутке  решений не имеет;

2) при  уравнение (3) приводится к виду , т.е. обращается в тождество. Следовательно, любое значение  является решением уравнения (3). [23, 110]