Уравнения третей степени

Будем рассматривать уравнение третей степени вида , где , - любые коэффициенты. Левая часть – это многочлен третей степени, поэтому уравнение имеет три корня (возможно комплексные и совпадающие). Разделим данное уравнение на , тогда получим:

, (1)

Преобразуем это уравнение так, чтобы исчез член с квадратом неизвестного. Если положить

и подставить это выражение в наше уравнение, то после несложных выкладок получится более простое уравнение

, (2)

которое называется приведенным уравнением третей степени.

Таким образом, остается решить уравнение (2). Полагаем , где и – два новых вспомогательных неизвестных, и, подставляя это выражение в уравнение (2), мы получим:

или, раскрыв скобки и перегруппировав члены:

, (3)

Так как вместо одного неизвестного ввели две неизвестные и , то одно может быть выбрано произвольно, т.е. между и можем установить еще одну произвольную зависимость. Потребуем, чтобы .

Значит

Мы видим, что и являются корнями приведенного квадратного уравнения

Решая это уравнение, находим:

откуда

Итак, неполное уравнение (2) нам удалось решить алгебраически:

, (4)

Формула (4) называется формулой Кардана.

По этой формуле получается девять значений, а нас интересует только три значения. Нужные три значения найдем из условия

, (5)

Чтобы упростить систему поисков, поступим следующим образом: обозначим через одно из значений (любое), а через такое значение , чтобы или . Тогда остальные значения находятся по формулам: