Цилиндрические функции с индексом, равным половине нечетного целого числа

Специальный класс цилиндрических функций образуют цилиндрические функции с индексом, равным половине нечетного целого числа. В рассматриваемом случае цилиндрические функции могут быть выражены через элементарные функции. Чтобы показать это, найдем предварительно значения функций , для чего положим в (2.1)  и воспользуемся для преобразования рядов формулой удвоения гамма-функции

Мы получим тогда

        (7.1)

и аналогично

                                                                    (7.2)

Возможность выразить функцию Бесселя первого рода с любым полуцелым значком через элементарные функции следует теперь из рекуррентной формулы (2.5)

пользуясь которой можно последовательно получить:

и т. д.

Общее выражение для  через элементарные функции получается из формул (2.7). Например, если положить во второй из них  и воспользоваться результатом (7.1), то находим:

                           (7.3)

Соответствующие формулы для функций Бесселя второго и третьего рода могут быть выведены из найденных соотношений, если воспользоваться выражениями этих функций через функции Бесселя первого рода (3.5 и 5.4). Например, мы имеем:

                                  (7.4)

и т. д.

В заключение укажем на формулы:

        (7.5)

вытекающие из определений рассматриваемых функций (6.1 – 6.2).

Формулы для других полуцелых значений индекса получаются из этих формул с помощью рекуррентных соотношений (6.9). Лиувиллем доказано, что случай полуцелого индекса является единственным, когда цилиндрические функции приводятся к элементарным.