Ортогональная проекция. Ортогонализация

1. В этом параграфе рас смотрим евклидово пространство L, то есть линейное пространство со знакоопределенной метрической формой.

Будем считать метрическую форму положительно определенной.

Размерность пространства L может быть бесконечной.

Пусть в L дано подпространство . Допустим, что вектор x L представляется в виде суммы

= (1)

где , а ортогонален к . Тогда вектор называется ортогональной проекцией вектора x на подпространство . Ортогональная проекция вектора x на единственна. В самом деле пусть имеется другое разложение где ортогонален к . В этом случае отсюда так как а и ортогональны к . Из следует, что то есть поскольку метрическая форма пространства положительно определена.

Частный случай. Когда L трехмерно двумерно, показан на рис. 1.

Преобразование пространства L, которое каждому вектору x ставит в соответствии вектор согласно формуле (1), тоже называется ортогональной проекцией на .

Если пространство L рассматривается как точечное, то а - как плоскость в нем, то точка с радиус – вектором называется ортогональной проекцией на L точки M на представляет собой

Рис. 1

ближайшую к M точку в . Пусть - произвольный вектор подпространства .

Нужно доказать, что (2)

причем равенство в (2) достигается только тогда, когда (то есть когда N совпадает с , рис.1)

Причем . Тогда и

(3)

поскольку вследствие ортогональности вектора подпространству

, содержащему .

Заметим, что ввиду положительной определенности метрической формы рассматриваемого пространства. Поэтому (2) следует из (3). Равенство в (2) достигается лишь тогда, когда (то есть когда ).

3. Пусть

где - некоторая конечная независимая система векторов из L. В этом случае для нахождения ортогональной проекции заданного вектора x на подпространство достаточно надлежащим образом вычислить коэффициенты в разложении

(4)

С этой целью запишем условие ортогональности вектора к каждому из векторов z _j

(5)

Подставив разложение (4) в (5) и используя свойства скалярного произведения, получаем для систему линейных уравнений

(6)

Определить системы (6) представляет собой определитель Грамма для положительно определенной квадратичной формы (x, x) и независимых векторов . Поэтому он положителен, а система (6) однозначно разрешима. Тем самым искомая проекция найдется.

4. Ниже нам потребуется следующая

Лемма. Пусть в пространстве с положительно определенной метрической формой имеется система попарно ортогональных векторов , то есть (a _i, a _k)= 0 при i=k. Если ни один из этих векторов не нулевой, то они линейно независимы.

Доказательство. Рассмотрим соотношение

(7)

Умножим (7) скалярно на a₁:

(8)

Так как а метрическая форма положительно определена, то Остальные скалярные произведения в левой части (8) обратятся в нуль по условию леммы; Аналогично устанавливается, что Лемма доказана.

5. Пусть в пространстве L дана упорядоченная система линейно независимых векторов Речь будет идти о замене этой системы другой системой векторов, ортогональной и в некотором смысле эквивалентной данной. С этой целью проводится геометрическое построение, называемое процессом ортогонализации. Оно напоминает процесс выбора базиса при приведении квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби.

Новая система векторов Строится с соблюдением следующих условий:

2) Векторы попарно ортогональны.

3) Система линейно независима.

В таком случае говорят, что система векторов получена из первоначальной системы процессом ортогонализации.

Если данная система состоит из трех векторов e₁, e₂, e₃ в трехмерном евклидовом пространстве, то новую систему построим так:

Рис. 2

первый вектор сохраним

второй вектор проведем к нему ортогонально в плоскости, проходящей через e₁ и e₂;

третий вектор проведем ортогонально этой плоскости (рис 1).

Переходя к случаю большой размерности, нужно четвертый вектор располагать перпендикулярно данному трехмерному пространству и т. д. В общем случае положим:

(9)

Из формул (9) следует, что векторы расположены в нужных линейных оболочках и являются ненулевыми вследствие независимости векторов

Остается подобрать коэффициенты … так, чтобы векторы были попарно ортогональны. Тогда система будет независимой по лемме.

Найдем a. Мы имеем

отсюда

a= - (10)

деление выполнимо, так как Вектор (рис. 3).

Дальше обеспечим ортогональность третьего вектора первым двум:

Подчеркнутые члены обращаются в нуль, а по построению. Поэтому находим

(11)

Формулы (9) и (11) геометрически означают, что для построения вектора нужно из вектора вычесть его ортогональную проекцию на подпространство (рис. 4)

Дальше процесс идет аналогично.

Рис. 4

Рис. 3

6. В процессе ортогонализации иногда бывает важно обеспечить соблюдение еще двух дополнительных условий.

4) При любом система ориентирована так же, как система

Формулы (9) гарантируют соблюдение условия 4). В самом деле, из (9) имеем

Так, что в матрице, выражающей через , левый верхний минор порядка j (при любом ) положителен (равен + 1).

Для того чтобы обеспечить условие 5), достаточно после проведения ортогонализации каждый из полученных векторов разделить на его норму.

Замечание. Нетрудно доказать (например по индукции), что условия 1) – 5) по данной системе однозначно определяют систему векторов .

7. Многочлены Лежандра. В математическом анализе и его приложениях приходится использовать разложение произвольных функций в ряды по данным функциям, рассматривая такие разложения функций аналогично разложениям векторов по данному базису. При этом удобно иметь аналоги ортогонального базиса; таковыми являются ортогональные системы функций. Одним из простейших примеров ортогональных систем являются многочлены Лежандра.

В пространстве непрерывных функций на отрезке вводится квадратичная метрика со скалярным произведением

(12)

Соответственно

(13)

Следует определить внимание на ее положительную определенность: , причем тогда и только тогда, когда непрерывная функция во всех точках отрезка.

Возьмем систему одночленов

(14)

и причем к ней процесс ортогонализации. В результате получим последовательность многочленов

(15)

Номера многочленов (15) выбраны так, чтобы они совпадали с их степенями. Коэффициенты многочленов вычисляются согласно формулам (9) с учетом (10), (11), (12) и (14).

После специальной нормировки вида