Вычислим комплексное сопротивление

Z = R₁ + = R₁ + =

= R₁ + = R₁ + =

= 10 + = 19,2-j28,9.

Определяем комплексное значение тока

İ =

= 0,319 + j0,48 = e ^jarctg = 0,57e^j56,4 .

Задача № 3

Для цепи, изображенной на рис. 2.6, используя метод кон-турных токов, рассчитайте комплексные амплитуды токов во всех ветвях, определив ее параметры по формулам

х_с = 2 · N + n [ КОм], х_L = + n [ КОм],

R = [ КОм], е₁(t) = Ncos10⁶t,

e₂ (t) = - sin 10⁶t, e₃ (t) = cos 10⁶t,

где N – номер фамилии студента по журналу или две последние цифры номера зачетной книжки, n – номер элемента в схеме.

.

Рис. 2.6

Основные положения и соотношения

Для определения токов и напряжений в электрической цепи по методу контурных токов используется второй закон Кирхгофа. На его основе составляется система уравнений для независимых контуров схемы. Из решения системы определяются контурные токи и на основании их вычисляются токи во всех ветвях электрической цепи.

Пример № 1

Используя метод контурных токов, определить токи в ветвях схемы

Рис. 2.7

Ė₁= 10 В, Ė₂ = 20 В, L₁ = 10 мГн, C₁= C₂ =100 мкФ,

ω =10 рад/сек, R₁= 50 Ом, R₂= 5 Ом, R₃=10 Ом.

Решение

Представим ветви в схеме рис. 2.7 в виде комплексных сопротивлений Z₁, Z₂, Z₃.

Рис. 2.8

Определим значения комплексных сопротивлений Z_1,.Z_2, Z₃.

Z₁ = R₁ + jωL₁ = 50 + j10³ ∙ 10 ∙ 10^-5 = 60 + j10,

Z₂ = R₂ + ,

Z₃ = R₃ + .

Составим систему уравнений по методу контурных токов, приняв за контурные токи: İ₁ в контуре Ė₁, Z₁, Z₂ и İ₂ в контуре Е₂, Z₂, Z₃ (рис. 2.9).

Рис. 2.9

İ₁ (Z₁ + Z₂) - İ₂ Z₂ = Ė₁

İ₂ (Z₂ + Z₃) – İ₁ Z₂ = Ė₂.

Перепишем систему уравнений в виде

İ₁(Z₁ + Z₂) - İ₂ Z₂ = Ė₁

- I₁ Z₂ + I₂ (Z₂ + Z₁) = Ė₂.

Решим эту систему уравнений, используя метод Крамера, записав матрицу сопротивлений в виде

(Z₁ + Z₂ ) (-Z₂ )

(-Z₂) (Z₂ + Z₃).

Подставляя значения сопротивлений Z₁, Z₂, Z₃ в матрицу, получим

(65) (-5 + j10)

(-5 +j10) (15 - j20).

Найдем определитель матрицы ∆

(65) (-5 + j10)

∆ = = 1050 – j1200.

(-5 +j10) (15 – j20)

Находим определители ∆ İ₁ и ∆ İ₂

Ė₁ (-Z₂ ) (10) (-5 + j10)

∆ İ₁ = = =250-j400,

Ė₂ (Z₂ + Z₃) (20) (15 – j20)

(Z₁ + Z₂ ) Ė₁ (65) (10)

∆ İ₂ = = =1350-j100,

(-Z₂) Ė₂ (-5 + j10) (20)

В соответствии с формулами Крамера находим контурные токи İ₁ и İ₂, т.е.

İ₁ = = 0,292 – j0,047 A,

İ₂ = = 1,258 + j0,144 A.

Ток в ветви Z₂ найдем как алгебраическую сумму токов İ₁ и I₂, т.е.

İ_Z2 = İ₂ - İ₁ = 1,258 + j0,144 – 0,292 + j0,047 =0,966 +j0,191 А.

Таким образом получаем, что

İ_Z1 = İ₁ = 0,292 – j0,047 A,

İ_Z2 = İ₂ = 1,258 + j0,144 A,

I_Z2 = İ₂ – I₁ = 0,966 + j0,191 A.

Задача № 4

Замкните накоротко все элементы в схеме рис. 2.6, кроме e₁(t), L₁, R₁, C₂, R₂. Изобразите полученную схему. Выясните, какой тип контура получился. Определите напряжение на реактивных элементах при резонансе. Для полученного контура определите следующие величины:

резонансную частоту;

абсолютную, относительную и обобщенную расстройки;

добротность контура;

полосу пропускания контура;

характеристическое сопротивление;

сопротивление контура при резонансе.

Параметры элементов контура определить по формулам

x_c = 2 ∙ N + n [KOм], x_L = + n [KOм],

R = [Oм], e₁(t) = Ncos 10⁶t, где N – номер фамилии студента по журналу или две последние цифры номера зачетной книжки, n – номер элемента в схеме.

Основные положения и соотношения

Чтобы получить в реальном контуре колебания с постоянной амплитудой, необходимо включить в него источник э.д.с., который к началу каждого периода восполнял бы потери энергии, происшедшие за предыдущий период. Если источник э.д.с. соединяется последовательно с катушкой индуктивности

и конденсатором, то цепь называется контуром с последовательно включенными элементами, т.е. последовательным контуром. Этот контур представляется в виде 4-х полюсника, ко входным зажимам которого подключен источник гармонической э.д.с. Ė, а выходное напряжение снимается с конденсатора С (рис. 2.10) или с L.

Рис. 2.10

Комплексное сопротивление такой цепи равно

Z = R + jωL + 1/jω_C = R + j(ωL - ) = R +jx.

При х = ω₀L – 1/ω₀C = 0 наступает резонанс напряжений, при этом ω₀ называется собственной частотой контура.

Условием резонанса является равенство (совпадение) частоты питающего генератора ω_r и собственной частоты контура (частоты свободных колебаний ω₀).

Величины напряжений на индуктивности и емкости при резонансе равны и противоположны друг другу. Они могут быть определены как

= - = jω₀L = jE = jE = jEQ.

Векторная диаграмма при резонансе выглядит следующим образом (рис. 2.11), где I_o = E/R.

Напряжение на конденсаторе и индуктивности в Q раз превышает напряжение Е, приложенное к колебательному контуру.

Ū_Lo

Ī₀

0 Ē

Ū_Co

Рис. 2.11

Поэтому резонанс в последовательном контуре называют резонансом напряжений.

При частоте генератора ω_r < ω₀ векторная диаграмма последовательного контура приобретает вид (рис. 2.12).

Рис. 2.12

Здесь φ – угол сдвига фаз между током в контуре İ и напряжением источника Е. Сопротивление контура носит емкостной характер.

При частоте генератора ω_r > ω₀ векторная диаграмма видоизменяется (рис. 2.13).

Рис. 2.13

В этом случае сопротивление контура носит индуктивный характер.

Входное сопротивление и проводимость последовательного контура определяются соответственно выражениями

Z = R +jx = ∙ e^{jarctg x / R,}

= e^{-jarctg x / R}.

Величина x /R обозначается через ξ и называется обобщенной расстройкой. Она может быть отрицательной, когда ω < ω₀ и положительной, когда ω > ω₀. При резонансе ξ = 0. Безразмерная величина ξ служит мерой отличия частоты контура от частоты подведенных колебаний. Отношение величины у = и величине у₀ = называется обобщенной резонансной характеристикой контура

.

Величина называется относительной рас-

стройкой. 19

В области малых расстроек контура от резонансной частоты , где Δ ω ═ ω ─ ω_о.

Относительная расстройка γ связана с обобщенной расстройкой выражением

ξ ═ γ ∙ Q.

Полосу частот вблизи резонанса, на границах которой ток (проводимость) снижается до = 0,707 максимального (ре-зонансного значения) принято называть полосой пропускания. На границах полосы пропускания обобщенная расстройка ξ═1.

Так как ξ ═ γ ∙ Q = Q ∙ 2 , то получаем, что связь между резонансной частотой, добротностью и полосой пропускания определяется выражением 2 ∆ ω = .

Обобщенная резонансная кривая последовательного колебательного контура имеет вид (рис. 2.14)

Рис. 2.14

Если напряжение с последовательного контура снимается с емкости или индуктивности, то резонансные кривые при высокой добротности контура соответственно имеют вид (рис. 2.15 и 2.16).

Рис. 2.15 Рис. 2.16

Как следует из вида резонансной кривой, колебательный контур обладает большой проводимостью (малым сопротив-лением) в полосе частот, близких к резонансной и значительно меньшей проводимостью (большим сопротивлением) на час-тотах, удаленных от резонансной. Это свойство контура ши-роко используется для подавления колебаний определенной полосы частот. Последовательный контур может использоваться в качестве заграждающего (режекторного) фильтра.

При подключении контура к источнику с внутренним сопротивлением R_i добротность контура определяется выражением Q_экв = .

Как видно, внутреннее сопротивление генератора снижает добротность контура. Чтобы генератор не влиял на резонансные свойства контура, нужно, чтобы его сопротивление было значительно меньше сопротивления потерь контура R.

Пример № 1

При некоторой частоте f в последовательном контуре х_с=220 Ом и х_L = 170 Ом. Определить добротность контура, если известно, что сопротивление потерь контура R= 4 Ом.

Решение

Так как х_с = , а х_L= ωL, то можно записать, что

х _с∙ х _L = = ρ².

Добротность контура определится как

Q = = = 48,5.

Пример № 2

Последовательный контур состоит из L = 100 мкГн, С = 100 пФ, R = 10 Ом. Определить резонансную частоту ω_о, характеристическое сопротивление ρ, добротность Q и затухание d. Чему равны ток I_о, расходуемая в цепи мощность P_о, напряжения на индуктивности U_Lо и емкости U_Со при резонансе, если контур включен на напряжение U = 1 В? Определить также абсолютную Δω, относительную ν и обобщенную ξ расстройки, если частота источника напряжения, действующего в контуре, стала ω = 1,002 рад/с.

ω₀ = = 10⁷ рад/с;

f₀ = ≈ 1,6 ∙ 10⁶ Гц = 1,6 МГц;

ρ = = 1000 Ом;

d = = 0,01; Q =

I₀ =

P₀ = 0,1² ∙ 10 = 0,1 Вm;

U_L0 = U_C0 = I₀ ∙ ρ = 0,1 ∙ 1000 = 100 В;

Δω = ω – ω₀ = 1,002 ∙ 10⁷ – 10⁷ = 0,002 ∙ 10⁷ рад/с.

ν = = 2

.