Способы описания движения сплошной среды. Переменные Лагранжа и Эйлера

    Движение материальных частиц деформируемого тела можно описать в переменных Лагранжа и переменных Эйлера.

* Одно исключение их этого правила: при равномерном нагреве тела в нем возникают только деформации.

Для описания закона движения по Лагранжу достаточно определить функции: x=F_x(t), y = F_y(t), z =F _z (t), связывающие координаты частиц x, y, z со временам t. Рассматривая состояние частицы в моменты времени t₀, t₁, t₂,…, t_n, можно определить компоненты ее перемещения и скорости:

                                              (2.9)

Чтобы описать движение сплошной среды материального тела, необходимо установить закон движения каждой ее частицы. Для этого нужны правила индивидуализации отдельных частиц сплошной среды. Данное требование означает, что необходимо задать закон движения в виде

x = f_x(x⁰, y⁰, z⁰, t);     y = f_y(x⁰, y⁰, z⁰, t);             z = f_z(x⁰, y⁰, z⁰, t);     (2.10)

где x⁰, y⁰, z⁰ – координаты произвольно выбранной в деформируемом теле частицы в начальный момент времени t⁰.

Если уравнение (2.10) x⁰, y⁰, z⁰ фиксированы, а t – переменная величина, то уравнения определяют движение одной частицы деформируемого тела (той, которая в начальный момент деформации имела координаты x⁰, y⁰, z⁰). Если зафиксировать t, а x⁰, y⁰, z⁰ сделать переменными, функции (2.10) дадут распределение частиц деформируемого тела в пространстве в рассматриваемый момент времени. Если же переменными будут x⁰, y⁰, z⁰ и время t, то уравнения (2.10) можно рассматривать как закон движения деформируемого тела в целом, поскольку они определяют движение каждой материальной частицы этого тела. Переменные x⁰, y⁰, z⁰ и t принято называть переменными Лагранжа.

Рассмотрим описание движения в переменных Эйлера. Пусть через точку пространства А (x, y, z) в момент времени t₁, t₂, t₃ и т.д. проходят материальные частицы деформируемого тела М₁, М₂, М₃ и т.д., имеющие скорости υ₁, υ₂, υ₃ и т.д. В соответствии с представлением Эйлера, движение сплошной среды считается заданным, если компоненты υ_x, υ_y, υ_z вектора скорости υ определены функциями

υ_x = υ_x(x, y, z, t);       υ_y = υ_y(x, y, z, t);               υ_z = υ_z(x, y, z, t);       (2.11)

при фиксированных значениях координат. Координаты пространства x, y, z и время t называют переменными Эйлера.

Переменные Лагранжа определяют законы изменения координат, перемещений, скоростей, ускорений для каждой индивидуальной частицы сплошной среды, а переменные Эйлера – законы изменения тех же исследуемых величин, но в каждой фиксированной точке пространства, через которые последовательно проходят метериальные частицы сплошной среды. Описания движения в переменных Лагранжа и Эйлера в механическом отношении эквивалентны.