Условная вероятность. Независимость событий

Пусть А и В – два события, рассматриваемые в данном опыте. Наступление одного события (скажем, А) может влиять на возможность наступления другого (В). Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.

Условной вероятностью события В при условии, что произошло событие А, называется отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события А, причем , обозначается символом .

Таким образом, по определению .

Из формулы нахождения условной вероятности следует формула умножения вероятностей: .

Это равенство обобщается на случай n событий:

Правило умножения вероятностей имеет особо простой вид, если события, образующие произведение независимы.

Событие А называется независимым от события В, если его условная вероятность равна безусловной, т.е. если выполняется равенство:
.

Понятие независимости может быть распространено на случай n событий. События А₁, А₂, …, А _n называются независимыми (или независимыми в совокупност и), если каждое из них не зависит от произведения любого числа остальных событий и от каждого в отдельности. В противном случае события А₁, А₂, …, А _n называются зависимыми.

Для независимых событий правило умножения вероятностей принимает вид: .

Если события А₁, А₂, …, А _n независимы в совокупности, то они и попарно независимы (обратного в общем случае утверждать нельзя).

Пример. В коробке 2 белых и 7 черных шаров. Из нее последовательно вынимают два шара. Какова вероятность того, что второй шар окажется белым, при условии, что первый шар был черным?

Решение. Пусть А = {первый шар черный}, В= {второй шар белый}. Т.к. событие А произошло, то в урне осталось 8 шаров, из которых 2 белых. Поэтому .

Рассмотрим второй способ решения данной задачи: найдем вероятность события В, при условии, что событие А произошло, по формуле . Очевидно, что . Общее число исходов равно . Событию АВ благоприятствуют  исходов. Поэтому . Следовательно, .