Простейшие правила интегрирования

 

1) Если  - постоянная , то , т.е. постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла.

2) , т.е. неопределенный интеграл от суммы (разности) интегралов равен сумме (разности) интегралов от каждой функции в отдельности.

Пример 1.2.

.

Пример 1.3.

.

Пример 1.4.

.

Пример 1.5.

.

 

Стандартные методы интегрирования

Таблица 2

Стандартные методы интегрирования
метод замены переменной интегрирования		метод разложения	метод интегрирования по частям
линейная замена	замена с помощью подстановок

Интегрирование методом замены переменной

Линейная замена

 

Если , то

1) .

2) .

3) .

В самом деле, сделаем в интеграле  замену , тогда по определению дифференциала  откуда .

Итак, .

Особенно часто встречаются случаи, когда (случай 2) или (случай 1).

Пример 1.6.

.

 

Пример 1.7.

.

Пример 1.8.

.

Пример 1.9.

.

Пример 1.10.

.

Пример 1.11.

.

 

Замена с помощью подстановок

Замена переменной в неопределенном интеграле осуществляется с помощью подстановок двух видов:

1)  где - новая переменная. В этом случае формула замены переменной имеет вид:

;

2)  где  - новая переменная. Формула замены при такой подстановке имеет вид:

.

 

Порядок замены переменной:

1) ввести новую переменную с помощью подстановки вида  или

2) продифференцировать подстановку из п. 1):  или ;

3) выразить все, что стоит под знаком интеграла, через новую переменную и вычислить полученный интеграл;

4) с помощью формулы из п.1) вернуться к старой переменной.

 

Наиболее часто встречаются подстановки, приведенные в табл. 3.

 

 

Таблица 3