Операції над множинами

Множини, способи їх задання. Операції над множинами.

Одним з основних понять сучасної математики є поняття множини. У повсякденному житті ми постійно зустрічаємось з цим поняттям, розуміючи під ним зібрання, сукупність, колекцію речей, об’єднаних за деякими ознаками (зграя птахів, табун коней, колекція листівок). Прикладами множин у математиці є геометрична фігура, розв’язок нерівності чи систем нерівностей та ін.

За Г.Кантором множина – це сукупність, клас, група об’єктів, об’єднаних за якоюсь ознакою.

Множини позначаються великим латинськими літерами A,B,C,…,Z, а елементи множин – малими літерами a,b,c,…,x,y,z. Твердження про те, що елемент а належить множині А, записують у вигляді . Коли навпаки – елемент а неналежить множині А, виконують такий запис: . Якщо множини мають скінченну кількість елементів, то їх можна записати у вигляді . Нескінченні множини не можуть задаватись переліком їх елементів. Такі множини задають за допомогою характеристичної властивості їхніх елементів, тобто властивості, яку мають всі елементи цієї множини і тільки вони. Якщо Р(х) – скорочене позначення речення «елемент х має властивість Р», то множину М, елементи якої мають характеристичну властивість Р, записують так: .

Означення: Порожньою множиною називається множина, яка не містить жодного елемента (тобто не існує елементів, що мають певну властивість).

Означення: Дві множини А і В називаються рівними, якщо кожний елемент множини А є елементом множини В, і навпаки.

Означення: Множина А, що складається зі скінченної кількості елементів називається скінченною. Число елементів множини називають її потужністю і позначають М(А).

Означення: Множина А називається підмножиною множини В, якщо кожен елемент множини А є елементом множини В:

Тоді можна записати, що А А, Ø А.

Операції над множинами.

Означення: Об’єднанням двох множин А і В називається множина А В, елементи якої належать хоча б одній із цих множин:

А В ={ х| х А або х В}.

 

Означення: Перерізом двох множин А і В називається множина А В, елементи якої належать як множині А, так і множині В:

А В = {х| х А і х В}

Означення: Різницею двох множин А і В називається множина А\В, елементи якої належать множині А і не належать множині В:

А\В = {х| х А і х В}.

Нехай А – підмножина множини Ω.

Означення: Різницю Ω\А називають доповненням множини А до множини Ω і позначають Ā.

Для операцій об’єднання, перерізу і віднімання множин справджуються такі властивості:

1. А В = В А; А В= В А (комутативність об’єднання і перерізу).

2. (А В) С = А (В С); (А В) С = А (В С) (асоціативність об’єднання і перерізу).

3. (А В) С = (А С) (В С) (дистрибутивність перерізу відносно об’єднання)

(А В) С = (А С) (В С) (дистрибутивність об’єднання відносно перерізу).

4. (А\В) С = (А С)\(В С) (дистрибутивність перерізу відносно різниці.

5. Якщо А В, то А В = В і А В = А.

Властивості 1 і 2 – очевидні. Доведемо властивість 3.

Доведення: Нехай тоді і . Через те, що , то або , або . Якщо , то , але тоді . Якщо , то , але тоді .

Отже, при маємо . А це означає, що .

Нехай , тоді або , або . Якщо , то і . Через те, що , то . Тоді . Якщо , то і . Але тоді , а отже, . Таким чином, . Отже, (А В) С = (А С) (В С).

Властивість 4 доводиться аналогічно, тому доведете її самостійно.

Лема: Для будь-яких скінченних множин А і В виконується рівність:

.

Доведення: Нехай А і В не перетинаються, тобто . Тоді , оскільки об’єднання розглядуваних множин утворюється додаванням усіх елементів однієї множини до елементів іншої.

Якщо множини А та В перетинаються, то кількість їх спільних елементів дорівнює . Об’єднання множин А та В утворюється з елементів множини А та елементів множини В, що не є елементами множини А. Число таких елементів становить . Отже, .