Метод проектирования на одну координатную плоскость

Если поверхность S задана уравнением , где  (x,y),  (x,y)- непрерывны в замкнутой области, D_xy- проекция поверхности S  на плоскость XOY и функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)- непрерывны на S, то имеет место формула:

Данная формула выражает поверхностный интеграл второго рода по верхней стороне поверхности S через двойной интеграл по проекции поверхности   S на плоскость XOY.

Пример: найти поток векторного поля через внешнюю часть поверхности

Поверхность представляет собой параболоид, обрезанный на высоте , поверхность не замкнутая, проектируется на плоскость XOY в круг радиуса

                                     

 

 

                                          Рис. 3.9                         Рис. 3.8        

 

 

Т.к. проекция на плоскость XOY – круг, то при вычислении двойного интеграла переходим к полярной системе координат.

Пример: вычислить поверхностный интеграл второго рода по внешней части конуса

 , , если ,  - уравнение верхней части кругового конуса при  .

              

Для вычисления поверхностного интеграла воспользуемся формулой (3.5)     

 

Т.к.  конус проектируется на плоскость   ХOY   кругом радиуса , , запишем двойной интеграл в полярной системе координат

.

Учитывая, что нормаль к нижней стороне поверхности составляет тупой угол по отношению к оси OZ, в окончательном ответе должен быть поставлен знак минус, т.е.

 

              3.1.4. Вычисление поверхностных интегралов второго

                    рода с помощью теоремы Остроградского-Гаусса.

Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между поверхностным интегралом второго рода по замкнутой поверхности и тройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью.

Теорема. Если функции  - непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в пространственной замкнутой области V, то имеет место формула:                                                                    (3.6)

где  - заданное векторное поле.

     - дивергенция векторного поля

S - замкнутая поверхность, ограничивающая объем V.

Как уже указывалось выше, дивергенция может быть вычислена через скалярное произведение символического вектора  (набла - оператор Гамильтона) и вектора поля. Понятие дивергенции (или расходимости векторного поля) дает некоторую количественную характеристику векторному полю в каждой его точке.

 
                                               (3.7)

Это формула трактует дивергенцию векторного поля  в точке M, как объемную плотность потока вектора в данной точке.

Пример: найти поток векторного поля через поверхность S:  ,

Поверхность представляет собой замкнутый при z = 0  и  z = 1  цилиндр

    рис. 3.10

Т.к. поверхность замкнутая, то воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса:

 

(при вычислении тройного интеграла используем цилиндрическую систему координат):

 

Пример: найти поток векторного поля

через внешнюю часть конуса ,   , ограниченного сверху плоскостью . Поверхность замкнутая.  Вычислим дивергенцию векторного поля:  

 

    

 

                                  

                                                                                рис. 3.11                                             

Следовательно, , а т.к. по свойствам тройного интеграла, если подынтегральная функция равна единице, то тройной интеграл равен объему заданного тела V, а объем конуса 

        

Следовательно, поток векторного поля  

    Если в векторном поле дивергенция равна нулю, то такое поле называется соленоидальным. В соленоидальном векторном поле поток через любую замкнутую поверхность равен нулю. Если в точке М(x,y,z) векторного поля  (М) (M)> 0, то такая точка называется источником векторного поля, если  (M)< 0, то точка называется стоком векторного поля.

Пример: вычислить поток векторного поля

    ,

где S - замкнутая поверхность:  

Нормаль внешняя.

Поверхность S представляет собой цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси OZ; в сечении окружность с центром в начале координат, радиуса R = 1. Цилиндрическая поверхность ограничена плоскостью Z = 0  и наклонной плоскостью .

 

рис. 3.12                                        рис. 3.13

Вычислим дивергенцию 

 

Тогда,  

Вычислим тройной интеграл в цилиндрической системе координат:

Пример: вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали, если

S:

Поверхность является замкнутой сферой радиуса R = 2, с центром в точке (1;0;0),  т.к.

Дивергенция векторного поля  (М):

 

Тогда, поверхностный интеграл второго рода, вычисленный по формуле Остроградского-Гаусса примет вид:

т.к. по свойствам тройного интеграла  - объему тела, а тело представляет собой сферу, объем которой равен .

Пример: вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность, нормаль внешняя,

если

Поверхность S представляет собой пересечение параболоида с конусом:  - параболоид,

      - конус ()

Строим проекции поверхности на вертикальную и горизонтальную плоскости.

 - верхняя часть конуса.

 

 

 

    рис. 3.14                                                                                                                                                                       рис. 3.15                                                    

Находим радиус окружности, по которой пересекаются две поверхности вращения:

, но , т.е.  или  

, т.к. то , следовательно .

Тогда  и

 

Вычисляем тройной интеграл в цилиндрической системе координат.

(Уравнение конуса в цилиндрической системе координат ; уравнение параболоида , т.к.  в цилиндрической системе координат).

Формула Стокса

Формула Стокса связывает криволинейный и поверхностный интегралы второго рода.

Пусть в некоторой области пространства задано поле непрерывно дифференцируемого вектора

 = P(x,y,z)  +Q(x,y,z)  +R(x,y,z)

Выше мы уже определили понятие ротора вектора  как векторного произведения символического вектора набла =  +  +  и

вектора поля  = P  +Q  +R

 

Тогда по формуле Стокса:

                                                                                              (4.1)

Циркуляция вектора по любому замкнутому контуру L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность G, натянутую на контур L.

Предполагается, что ориентация нормали  к поверхности G согласована с ориентацией контура L таким образом, чтобы из конца нормали обход контура в выбранном направлении был виден совершающимся против часовой стрелки. Формулу Стокса можно трактовать как обобщение формулы Грина для пространственного случая. В координатной форме формула Стокса имеет вид:

 

Формула Стокса позволяет вычислять криволинейные интегралы второго рода по замкнутым контурам с помощью поверхностных интегралов второго рода.

Пример: вычислить циркуляцию вектора   y  +x²  –z    по контуру 

L:   x² +y² =4  при z=3; вычисления провести двумя способами:

а) непосредственно; б) по формуле Стокса.

x² +y² =4 – круговой цилиндр, радиуса R=2 с образующей, параллельной оси   OZ. Контур L - окружность, лежащая в плоскости z=3.

Выберем ориентацию дуги L как указано        на рис.4.1.

а) Параметрические уравнения линии L:

x= 2cos t;  y=2sint;  z=3; 0 ≤ t ≤ 2π

dx= -2sint dt; dy= 2cost dt;  dz=0

 

Вычисляем криволинейный интеграл второго рода. Тогда:

б) Вычисления по формуле Стокса начнем с определения ротора векторного поля:

Вектор нормали к плоскости z=3 (0;0;1)

 Тогда, по формуле Стокса:

При вычислении интеграла воспользовались полярными координатами (x=ρcos , y =ρsin   якобиан равен ρ).

Пример: найти циркуляцию векторного поля  y  +z  +x  по окружности, получающейся при пересечении сферы x²+y²+z²=1, наклонной плоскостью   x+y+z=0, нормаль направлена в сторону положительной оси ОХ.  Плоскость x+y+z=0  полностью определяется своей нормалью ,

длина нормали = , тогда единичная нормаль, сонаправленная с данной имеет координаты .

Вычислим ротор векторного поля в соответствии с формулой (2.7):

    

Вычислим скалярное произведение ротора вектора поля и единичной нормали:

 

Следовательно, по формуле Стокса (4.1):

 

Приложения.

Варианты индивидуальных заданий.

Вариант № 1.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

 

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по  заданному пути L: 

 

 

L: ломаная ABCD, AC // OX, CD // OX, DB // OY.

A (0, 1, 2), B (1, -1, 3)

3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении:

 

Поверхность замкнутая, нормаль внешняя.

 

Вариант № 2.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

 

 

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

 

 

От точки M (2, 0) до точки N (0, 0).

 

3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в направлении внешней нормали.

Вариант № 3.

 

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

 

 

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

 

 

L: замкнутый контур, полученный пересечением поверхности

    координатными плоскостями.

 

3) Вычислить поток векторного поля через заданную замкнутую поверхность в сторону внешней нормали.

 

 

 

Вариант № 4.

 

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

 

 

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

 

 

 

3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в сторону внешней нормали.

 

 

Вариант № 5.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

 

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

 

 

 

3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.

 

S: часть поверхности ,    вырезаемая плоскостями

, нормаль внешняя по отношению к замкнутой поверхности.

 

Вариант № 6.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

 

 

2) вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

 

 

L: от  точки M (3, 0) до точки N (-3, 0).

 

3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении:

 

 

S: часть поверхности , вырезаемая плоскостью

 

P: ,  нормаль внешняя.

Вариант № 7.

 

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

 

 

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

 

 

L: контур треугольника ABC, где вершины треугольника имеют следующие координаты  A (1; 0; 0), B (0; 1; 0), C (0; 0; 1).

 

3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.

 

 

S: часть плоскости , расположенная в 1 октанте, нормаль положительная.

 

Вариант № 8.

 

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

 

 

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

 

 

L: , от точки M ,  до точки N

 

3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали:

 

 

Вариант № 9.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

 

 

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

 

 

L: замкнутый контур

 

3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.

 

 

S: часть поверхности ,  вырезанная плоскостями:

нормаль внешняя по отношению к замкнутой поверхности.

 

Вариант № 10.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

 

 

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

 

 

L: замкнутый контур

 

3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.

S: часть поверхности , отсекается плоскостями

, нормаль внешняя.

Вариант № 11.

 

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

 

 

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L.

 

 

L: замкнутый контур

 

3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.

 

 

S: часть поверхности , отсекаемая плоскостью

,  нормаль внешняя.

 

Вариант № 12.

 

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

 

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L.

 

 

L: отрезок AB, соединяющий точки   A (1, 2, -2) и  B (-2, 1, 4).

 

3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.

 

S: часть поверхности , отсекаемая плоскостью

, нормаль внешняя.

Вариант № 13.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

L: замкнутый контур x²+(y-1)²=1, обход в положительном направлении.

3) Вычислить поток векторного поля через часть плоскости S: x/3 +y +2z=1 расположенную в первом октанте, в направлении внешней нормали.

Вариант № 14.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L.

L: x²+y²+z²=4, z = 1, (y≥0)

от  точки M(√3;0;1) до точки N (-√3;0;1).

 

3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали.

S:

 

 

Вариант № 15.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L.

L: замкнутый контур

3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S

S:   нормаль внешняя.

Вариант № 16.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L.

L:  контур треугольника, ограниченного осями координат и прямой

3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S

S:  , нормаль внешняя   

Вариант № 17.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

L: замкнутый контур        (обход из точки 0(0,0,0) виден совершающимся против часовой стрелки).

3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали:

S:

Вариант № 18.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

L: контур треугольника OAB, где O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,2).

3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали:

S:

 

Вариант № 19.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.              

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

L:  x²+y²=1,  (y≥0) от точки M(1;0) до точки N (-1;0).

3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали:

S:

Вариант № 20.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

L: , 0≤t≤2

3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали:

S:

 

Вариант № 21.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L (контур замкнутый):

L:    

3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в направлении внешней нормали:

S:

Вариант № 22.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L (контур замкнутый):

L:    

3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность (первый октант) в направлении внешней нормали:

S:

 

 

Вариант № 23.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L (замкнутый контур):

L:   

3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в направлении внешней нормали

S:

Вариант № 24.

1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.

2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:

L:   , 0≤t≤2

3) Вычислить поток векторного поля через поверхность S в направлении внешней нормали:

S: часть плоскости  ,

находящаяся в I октанте.           

Эллипсоид

Гиперболоид однополостный