2015-02-04
4286
Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведения его к двукратному интегралу.
Так, если область D имеет вид, изображенный на рис. 5 (ограничена лучами 
, 
, где 
, и кривыми r = r 1(
) и r = r 2(), где r 1() 
r 2(), т.е. область D правильная: луч, выходящий из полюса, пересекает ее границу не более чем в двух точках, то формула для вычисления двойного интеграла в полярных координатах принимает вид:
, (3)
где D * –– область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат. Внутренний интеграл вычисляется при постоянном 
.
Замечания.
1. Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид f (x 2 + y 2); область D есть круг, кольцо или часть таковых.
2. На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены x = r cos , y = r sin , dxdy = rdrd ; уравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются в полярные координаты. Преобразование области D в область D * не выполняют, а совместив декартовую и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по r и (исследуя закон изменения r и точки (r; ) при ее совмещении с точкой (x; y) области D).
Пример 3. Вычислить двойной интеграл 
, где D –– круг, ограниченный окружностью x 2 + y 2 = 2 x, перейдя к полярным координатам.
Решение.
1. Построим указанную область, преобразовав уравнение окружности: x 2 + y 2 = 2 x;
x 2 – 2 x + 1 + y 2 = 1; (x – 1)2 + y 2 = 1. Это есть уравнение окружности с центром в точке (1; 0) и
R = 1 (рис. 6).
2. Совместив полюс с началом координат и полярную ось с положительным направлением оси Ox, запишем:
x 2 + y 2 = r 2cos2 + r 2sin2 = r 2(cos2 + sin2 ) = r 2;
x 2 + y 2 = 2 x, r 2 = 2 r cos , r = 2cos .
3. Из рис. 6 наглядно видно, что 
, 0 
r 2cos .
4. 
