Согласно заданию значение вероятности охвата P = 0,95, которое соответствует «результатам измерения общего назначения».
Анализируя входные величины, отмечаем, что имеют место две составляющие суммарной неопределенности, одна из которых определена по тира А и имеет нормальный закон распределения, а другая – по типу В и имеет равномерный закон распределения.
В этом случае коэффициент охвата принимаем равным квантилю распределения Стьюдента при вероятности охвата Р и эффективном числе степеней свободы νeff, определяемом по формуле
|
Подставив числовые значения, получим:
νeff = (22-1)(0.405/0.284)4 = 86.
Принимаем значение коэффициента охвата, равным k = 2
Определяем расширенную неопределённость по формуле:
U(Y) = k×u(Y). (7)
Получаем значение расширенной неопределённости:
U(Y) = 2×0.405 = 0,91 Ом.
Округляем данное значение по правилам округления результатов измерений, и получаем окончательное значение расширенной неопределённости:
|
|
U(Y) = 0,9 Ом.
6 Записываем результат измерения с учётом неопределённости.
Y = y ± U(Y) = (483,2 ± 0,9) Ом.
Измеренное значение сопротивления равно (483,2 ± 0,9) Ом,, где число, стоящее после знака ± расширенная неопределенность U(Y) = k×u(Y), полученная для суммарной стандартной неопределённости 0,405 и коэффициента охвата k = 2, соответствующего уровню доверия 95 % для t-распределения с v = 86 степенями свободы.
Рекомендуемая литература:
1 ГОСТ Р 34100.3-2017. Руководство ИСО/МЭК 98-3:2008. Неопределенность измерения. Часть 3. Руководство по выражению неопределенности измерений
2 Захаров И.П. Неопределенность измерений для чайников и … начальников: Учебное пособие / И.П. Захаров. – Харьков: 2013. – 56 с.
3 Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. - М.: Наука, 1986.- 544 с.
4 Шишкин, И.Ф. Теоретическая метрология. Ч. 1. Общая теория измерений: Учебник для вузов / И.Ф. Шишкин. – СПб.: Питер, 2010. – 190 с.
Раздел 3. «Преобразование и обработка сигналов»
Авторы задач: Щепетов Александр Григорьевич, профессор РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, e-mail: a-shchepetov@mail.ru, Ермолкин Олег Викторович, профессор РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, e-mail ove@mail.ru, Дьяченко Юрий Николаевич, доцент Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого, e-mail: ydko@mail.ru., Барат Вера Александровна, доцент НИУ МЭИ, e-mail vera.barat@mail.ru
Общая характеристика: задания относятся к задачам преобразования и обработки измерительных сигналов.
Безынерционное преобразование случайного сигнала
|
|
На вход нелинейного безынерционного ИУ с известной функцией преобразования поступает случайный сигнал , одномерная функция плотности распределения вероятностей (ПРВ) которого известна. Требуется определить статистические характеристики выходного сигнала: ПРВ , математическое ожидание и дисперсию . Пусть функция обладает свойством изоморфизма, т.е. существует однозначная обратная функция (рис.1)
. (1)
Рис. 1.
Тогда событие равносильно событию , что означает равенство вероятностей этих событий. Поэтому площади заштрихованных фигур на рис. 1 равны друг другу
. (2)
Из этого уравнения можно определить ПРВ выходного сигнала
, или . (3)
Зная ПРВ выходного сигнала, можно определить все статистические характеристики этого сигнала, в том числе его математическое ожидание и дисперсию
, . (4)
Их можно вычислить также по формулам, не требующим знания функции , что можно использовать для контроля правильности расчетов
, (5)
Если обратная статическая характеристика ИУ является неоднозначной и имеет N ветвей, то вместо формулы (3) нужно пользоваться общей формулой
, (6)
где - k - ая ветвь обратной статической характеристики ИУ (1). При правильных расчетах должно выполняться условие нормировки ПРВ. Покажем пример решения такой задачи [1].
Задача 3.1. (Щепетов А.Г.) На вход безынерционного ИУ с квадратичной характеристикой поступает случайный сигнал , ПРВ которого имеет вид
, (7)
т.е. входной сигнал на интервале имеет равномерное распределение (рис. 2, а). Нужно определить статистические характеристики выходного сигнала: плотность распределения вероятностей , математическое ожидание и дисперсию .
Решение: Обратная статическая характеристика ИУ является неоднозначной, так как имеет две ветви (рис.2,б)
и .
Поэтому формула (6) содержит два слагаемых и имеет вид
,
где следует записать
,
Учитывая, что , можно записать
.
На рис. 2, в показан график этой функции. Условие нормировки ПРВ выходного сигнала выполняется. Действительно,
.
Рис. 2
Математическое ожидание и дисперсию выходного сигнала вычислим по формулам (4)
,
.
Вычисления по формулам (5) приводят к таким же результатам
,
.
Инерционное преобразование периодического сигнала
Задача 3.2. (Ермолкин О.В., Щепетов А.Г.) Определить реакцию прибора с передаточной функцией ,
|
|
на периодический сигнал, представляющий собой последовательность однополярных прямоугольных импульсов (меандр) амплитуды и длительности с, следующих друг за другом с интервалом 2 с (рис.1).
Рис. 1
Покажем решение этой задачи разными способами [1].
Способ 1. Первый способ решения задачи основан напредставлении периодического входного сигнала в форме тригонометрического ряда Фурье
, (1)
где - коэффициенты Фурье. В соответствии с принципом суперпозиции, реакция линейного ИУ на такой сигнал равна сумме реакций на каждую из составляющих ряда (1) в отдельности, т.е.
, (2)
где - реакция ИУ на единичный ступенчатый сигнал ; и - реакции ИУ на гармонические составляющие сигнала и соответственно.
Полагая начальные условия нулевыми, можно записать
; ; .
Следовательно
, (3)
где - переходная функция ИУ; - оригиналы соответствующих изображений, зависящие от вида передаточной функции ИУ и формы базового импульса входного сигнала. Покажем применение этих формул для решения рассматриваемой задачи.
Решение: Коэффициенты Фурье входного сигнала вычислим по формулам
, где ,
, где .
где – произвольное число, которое можно выбирать из соображений удобства вычисления. Значение этого числа обычно выбирают так, чтобы функция на отрезке не имела особенностей. Полагая в приведенных формулах , , .В результате получим
, , , то есть , где (4)
Следовательно, разложение рассматриваемого входного сигнала в тригонометрический ряд Фурье содержит только нечетные гармоники и имеет вид
|
|
. (5)
Вычислим переходную функцию ИУ
(6)
и найдем оригиналы слагаемых ряда (1)
, где ,
Соответствующие оригиналы определим с помощью теоремы разложения. Для этого воспользуемся разложением
. (7)
Умножая обе части этого разложения на и приравнивая коэффициенты в обеих частях полученного равенства при одинаковых степенях , получим систему уравнений
, , ,
решая которую, найдем значения коэффициентов разложения (7)
.
Таким образом . (8)
Переходя в (1) к оригиналам, окончательно получим
. (9)
С течением времени (при ) в выходном сигнале ИУ исчезают составляющие с экспоненциальным множителем и он становится периодическим. (рис. 2). Этот установившийся периодический выходной сигнал имеет вид
. (10)
На рис. 2 показаны графики рассматриваемых входного и выходного сигналов ИУ. Входной сигнал (меандр) показан сплошной кривой 1, установившийся выходной сигнал (10) - пунктирной кривой 2. Видно, что процесс установления выходного сигнала практически завершается уже по истечение половины периода входного сигнала с. В общем случае это время соизмеримо с длительностью переходного процесса.
Рис. 2
К сожалению, установившийся выходной сигнал (10) получен в форме ряда.
Способ 2. Установившееся периодическое решение (10) можно получить, если воспользоваться полученными ранее результатами анализа реакции ИУ на гармонический сигнал единичной амплитуды
, (11)
Установившаяся реакция линейного инерционного ИУ на такой сигнал имеет вид (3.56)
, (12)
где - соответственно модуль и аргумент комплексной частотной характеристики ИУ
, . (13)
Учитывая (1), вместо (10) для установившегося выходного сигнала получаем
. (14)
В рассматриваемом случае имеем
, , , , ,
, .
Следовательно
. (15)
Учитывая соотношения
и ,
несложно доказать, что прежнее решение (10) и найденное решение (15) совпадают друг с другом.
Способ 3. Периодический сигнал можно представить в виде суммы базовых импульсов, сдвинутых друг относительно друга по оси времени на величину, кратную периоду сигнала , т.е.
, (16)
где - базовый импульс сигнала. Реакция линейного ИУ на такой входной сигнал равна сумме реакций ИУ на каждый из импульсов в отдельности, т.е.
, (17)
где - реакция ИУ на ый «сдвинутый» базовый импульс входного сигнала
.
В рассматриваемом случае можно записать
, (18)
где - единичная ступенчатая функция времени (1.10). Соответствующее изображение по Лапласу базового импульса равно
. (19)
Тогда изображение реакции ИУ на первый импульс имеет вид
, (20)
где .
Переходя в (20) к оригиналам, найдем реакцию ИУ на первый импульс входного сигнала
. (21)
то есть, (22)
На рис. 3 показаны графики базового импульса входного сигнала 1 и реакции ИУ на этот импульс 2, построенной по формуле (22). Реакция ИУ на второйимпульс входного сигнала равна и т.д., реакция на ый импульс
. (23)
Суммируя отклики ИУ на все импульсы входного сигнала, получим выходной сигнал ИУ
, (24)
где вычисляется по формуле (21).
Рис. 3.
Выполняя суммирование этого ряда, можно показать, что с течением времени выходной сигнал ИУ оказывается периодическим и имеет тот же период , что и входной сигнал, а его базовый импульс вычисляется по формулам
, (25)
где - время, отсчитываемое от момента установления периодического выходного сигнала ИУ. Формулы (25), в отличие от (13) и (14), определяют установившийся выходной сигнал ИУ в аналитическом виде.
Способ 4. В заключение рассмотрим еще один способ решения задачи, позволяющий достаточно просто (без суммирования рядов) определить установившийся периодический выходной сигнал ИУ в аналитическом виде. Этот способ основан на методе вариации произвольных постоянных, который применяется при решении неоднородных дифференциальных уравнений.
Для этого запишем, учитывая вид передаточной функции ИУ , операционное уравнение, связывающее изображения входного и выходного сигналов ИУ
, т.е. . (26)
Переходя во временную область и полагая, что начальные условия, наложенные на выходной сигнал, нулевые (т.е. считая, что ), получим дифференциальное уравнение ИУ
. (27)
Вновь перейдем в операторную область, полагая, что упомянутые выше начальные условия ненулевые (т.е., полагая, что ). В этом случае вместо (26) получим другое уравнение
, (28)
из которого следует
. (29)
Оригинал, соответствующий первому слагаемому в формуле (П2.67), найдем с помощью теоремы умножения. Второе слагаемое имеет табличный оригинал, то есть
. (30)
Выбор начального условия (т.е. выбор значения , входящего в формулу (24)) подчиним условию периодичности установившегося выходного сигнала
. (31)
Кроме того, будем считать, что период этого сигнала совпадает с периодом входного сигнала, т.е. . Тогда, раскрывая (30), получим уравнение
. (32)
Отсюда найдем . Возвращаясь к (30), получим
. (33)
Первое слагаемое в формуле (33) есть ранее найденная реакция ИУ (21) на базовый импульс входного сигнала, т.е. вместо (33) можно записать
. (34)
После приведения подобных членов формулы (34) совпадают с формулами (25).
Примечание:
1) Если , то вместо (30) можно получить
При увеличении коэффициента k снижается постоянная времени ИУ. В этом случае форма установившегося выходного сигнала ИУ приближается к форме кходного сигнала.
2) при решении задачи для ИУ - го порядка изображение (29) содержит произвольных постоянных , а условие периодичности (31) заменяется условиями вида .
Литература
- Щепетов А.Г., Дьяченко Ю.Н. Преобразование измерительных сигналов: учебник и практикум для академического бакалавриата. – М.: Издательство Юрайт, 2017. – 270 с.