Описание линейной дискретной системы в Z – области

 

Передаточная функция ЛДС

 

Передаточная функция - это отношение z – преобразования выходного сигнала  к z – преобразованию входного сигнала :

 

.                               (5.9)

 

Применим z – преобразование к уравнению линейной свертки . В соответствии со свойствами z – преобразования получим:

,                                         (5.10)

где  - z – преобразование импульсной характеристики.

 

Таким образом, z – преобразование импульсной характеристики

                                       (5.11)

представляет собой передаточную функцию ЛДС.

 

При известной передаточной функции  импульсная характеристика находится с помощью обратного z – преобразования:

 

.                                      (5.12)

 

Связь передаточной функции с разностным уравнением

 

Применим z – преобразование к разностному уравнению

 

.

 

Учитывая свойство z – преобразования по запаздыванию, можно получить передаточную функцию ЛДС общего вида:

 

.                                           (5.13)

 

Таким образом, передаточная функция ЛДС представляет собой дробно-рациональную функцию, числитель и знаменатель которой описываются многочленами аргумента  с вещественными коэффициентами.

Как любая дробно-рациональная функция, передаточная функция ЛДС характеризуется полюсами и нулями.

Нулями называют значения , при которых передаточная функция равна нулю.

Полюсами называют значения , при которых знаменатель передаточной функции равен нулю.

 

Разновидности передаточных функций

 

Одна из эквивалентных форм записи передаточной функции выглядит следующим образом

,                                         (5.14)

где  - нули,  - полюса.

Нули и полюса передаточной функции могут быть либо вещественными, либо составлять комплексно-сопряженные пары. Коэффициент усиления  всегда вещественный.

Третий вариант представления передаточной функции в виде суммы простых дробей (:

,                                (5.15)

где  - полюс;

 - коэффициент разложения при k-м полюсе.

 

Оценка устойчивости ЛДС по ее передаточной функции

 

Обратное z – преобразование передаточной функции в виде суммы простых дробей позволяет в общем случае найти импульсную характеристику, так как каждому слагаемому выражения (5.15) соответствует по таблице соответсвий обратное преобразование вида :

.                                                  (5.16)

 

Ряд (5.16) будет сходиться и ЛДС будет устойчива, если выполняется условие:

                                        (5.17)

 

Следовательно, чтобы ЛДС была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все полюса ее передаточной функции распределялись внутри единичного круга комплексной z-плоскости.