double arrow

Метод произведений для вычисления выборочной средней и выборочной дисперсии.


Метод произведений дает удобный способ вычисления условных моментов различных порядков вариационного ряда с равноотстоящими вариантами. Зная же условные моменты, нетрудно найти начальные и центральные эмпирические моменты. В частности, методом произведений удобно вычислять выборочную среднюю и выборочную дисперсию. Целесообразно пользоваться расчетной таблицей, которая составляется следующим образом:

1) в первый столбец таблицы записывают выборочные (первоначальные) варианты, располагая их в возрастающем порядке;

2) во второй столбец записывают частоты вариант, складывают их и полученную сумму записывают в последнюю клетку столбца;

3) в третий столбец записывают условные варианты ;

4) умножают частоты на условные варианты  и записывают в четвертый столбец, находят сумму полученных произведений и записывают в последнюю клетку столбца;

5) умножают частоты на квадраты условных вариант  и записывают в пятый столбец, находят сумму полученных произведений и записывают в последней клетке столбца;

6) умножают частоты на квадраты условных вариант, увеличенных каждая на единицу, и записывают произведения  в шестой столбец, находят сумму полученных произведений и записывают в последнюю клетку столбца.




 

Замечание: Шестой столбец нужен для контроля вычислений. Если выполняется равенство

,

то вычисления произведены правильно.

 

    После того, как расчетная таблица заполнена и проверена правильность вычислений, находят условные моменты

и .

    Затем вычисляют выборочную среднюю и выборочную дисперсию по формулам

и .

Пример.Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию для следующего статистического распределения

xi 10,2 10,4 10,6 10,8 11 11,2 11,4 11,6 11,8 12
ni 2 3 8 13 25 20 12 10 6 1

 

Решение.Найдем условные варианты, для этого выберем ложный нуль.

Пусть , так как она расположена в середине таблицы и ей соответствует наибольшая частота.

    Тогда ;

; ;

; ;

    Построим расчетную таблицу.

xi ni ui ui · ni ui2· ni (ui+1)2· ni
10,2 10,4 10,6 10,8 11 11,2 11,4 11,6 11,8 12 2 3 8 13 25 20 12 10 6 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -8 -9 -16 -13 0 20 24 30 24 5 32 27 32 13 0 20 48 90 96 25 18 12 8 0 25 80 108 160 150 36
100 - 57 383 597

 

Выполним проверку 597==383+2·57+100. вычисления выполнены верно.

Вычислим условные моменты первого и второго порядков:

;

.

Так как разность между двумя соседними первоначальными вариантами равна 0,2, то шаг .

Вычислим выборочную среднюю и выборочную дисперсию:



;

.

 

Замечание: Приведенная выше таблица может быть дополнена большим количеством столбцов в случае, если необходимо будет вычислить условные моменты более высоких порядков.

 

 







Сейчас читают про: