Статистические оценки параметров распределения

План:

1. Оценки параметров распределения признака.

2. Требования выдвигаемы к оценкам распределения.

1. Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет признак. Тогда, возникает задача оценки параметров, которыми задается это распределение. Например, если наперед известно, что изучаемый признак распределен в генеральной совокупности нормально, то необходимо оценить (приближенно найти) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, так как эти два параметра полностью определяют нормальное распределение.

Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки, например, значения количественного признака , полученные в результате наблюдений. Через эти данные и выражают оцениваемый параметр. Рассматривая значения как независимые случайные величины , можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения, это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра.

Итак, статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

Для того, чтобы статистические оценки давали «хорошее» приближение оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям. Рассмотрим эти требования.

2. Пусть - это статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения. Допустим, что по выборке объема найдена оценка . Повторим опыт, то есть извлечем из генеральной совокупности другую выборку того же объема и по ее данным найдем оценку . Повторим опыт несколько раз, получим числа , которые различны между собой. Таким образом, оценку можно рассматривать как случайную величину, а числа , как ее возможные значения.

Иногда возможны случаи, когда оценка дает приближенное значение с избытком или с недостатком, то есть каждое найденное по данным выборок число () больше истинного значения или меньше. Тогда и математическое ожидание (среднее значение) случайной величины больше чем или меньше чем , то есть или .

Таким образом, во избежание ошибок, необходимо, чтобы математическое ожидание оценки было равно оцениваемому параметру. Это первое требование к оценке.

Определение 1. Несмещенной называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, то есть

В противном случае оценку называют смещенной.

Этого требования не достаточно для точности вычислений, так как возможные значения могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения, то есть дисперсия может быть большим числом. Поэтому, во избежание ошибок необходимо, чтобы дисперсия была малой. Поэтому вводится новое требование к оценке – это эффективность.