Правила преобразования уравнений

1 2 3 4 5 6 7

Тема 3: «Уравнения»

Содержание: стр.

1. Общий теоретический справочник ……………………………………... 1

2. «Алгебраические уравнения» …………………………………………… 3

3. «Уравнения с модулем. Иррациональные уравнения» ……………… 6

4. «Показательные и логарифмические уравнения» …………………… 9

5. «Тригонометрические уравнения» ……………………………………. 12

Использование свойств функций при решении уравнений и

неравенств» …………………………………………………………………. 15

7. «Системы уравнений» ……………………………………………………… 17

Общий теоретический справочник

· Уравнением с одной переменной x называется выражение f (x) = g (x), содержащее переменную величину x и знак равенства.

· Число a называется корнем (или решением) уравнения f (x) = g (x), если при подстановке этого числа в уравнение получается верное числовое равенство.

· Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Замечание. Важно понимать, что решение – это число, например, 15 или , поэтому ответ при решении уравнения должен содержать именно числа, а не выражения, уравнения и т. п.

· Уравнения f (x) = g (x) и f ₁(x) = g ₁(x) называются равносильными, если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения и наоборот корни (в случае кратных корней нужно, чтобы кратности соответствующих корней совпадали), или если оба эти уравнения не имеют решений. Проще говоря, уравнения равносильны, если они имеют одно и то же множество корней.

· Тот факт, что уравнения f (x) = g (x) и f ₁(x) = g ₁(x) равносильны, записывается так: f (x) = g (x) f ₁(x) = g ₁(x) здесь – знак равносильности.

· Ясно, что уравнение f ₁(x) = g ₁(x) может оказаться проще уравнения f (x) = g (x), а так как оно имеет те же корни, что и исходное уравнение f (x) = g (x), то его и нужно решать.

Например, уравнения x + 2 = 5 и x + 5 = 8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень - число 3. Равносильны и уравнения x ² +1 = 0 и 2 x ²+ 5 = 0 - ни одно их них не имеет корней. Уравнения x - 5 = 1 и x² = 36 неравносильны, так как первое имеет только один корень 6, тогда как второе имеет два корня: 6 и -6.

Правила преобразования уравнений.

Правило 1. Если выражение φ (x) определено при всех x, при которых определены выражения f (x) и g (x), то уравнения f (x) = g (x) и f (x) + φ (x) = g (x) + φ (x) равносильны. В частности, f(x) = g (x) f (x) - g (x) = 0. Здесь φ (x) = – g(x). То есть любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую, не нарушая равносильности.

Правило 2. Если выражение φ(x) определено при всех x, при которых определены выражения f (x) и g (x), то любое решение уравнения f (x) = g (x) f (x) · φ (x) = g (x) · φ (x).

Замечание. Естественно, уравнение f (x) · φ (x) = g (x) · φ (x) имеет больше корней, чем уравнение f (x) = g (x), например, его корнями будут ещё и корни уравнения φ (x) = 0. Таким образом, умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение может привести к появлению посторонних корней. Если же φ (x) таково, что φ (x) ≠ 0 для тех x, для которых определены функции f (x) и g (x), то f (x) = g (x) f (x) · φ (x) = g (x) · φ (x). Это значит, что для сохранения равносильности умножать обе части уравнения можно лишь на отличное от нуля выражение.

Правило 3. Каждое решение уравнения f(x) = g (x) является решением уравнения (f (x)) ⁿ = (g (x)) ⁿ при любом натуральном n, то есть f (x) = g (x) (f (x)) ⁿ = (g (x)) ⁿ.

При этом, если n нечетного (n = 2 k + 1), то можно поставить знак равносильности: f (x) = g (x) (f (x)) ^{2k +}¹ = (g (x)) ^{2k +}¹. Для четных n (n = 2 k) справедливо только f (x) = g (x) (f (x)) ^2k = (g (x)) ^2k.

Правило 4. Каждое решение уравнения f (x) · g (x) = 0 является решением, по крайней мере, одного из уравнений: f (x) = 0 или g (x) = 0.

Другими словами, из уравнения f (x) · g (x) = 0 следует, что, либо f (x) = 0, либо g (x) = 0

Обратное, вообще говоря, неверно.

Из этих четырех правил следует, что с помощью стандартных приемов и методов решения уравнений, а именно:

· преобразования (раскрытие скобок, освобождение от знаменателя, приведение подобных членов, возведение уравнения в нечетную натуральную степень и т. д.);

· разложения на множители (формально этот прием относится к преобразованиям, но, так как он довольно часто встречается самостоятельно, мы его выделяем особо);

· введения вспомогательных неизвестных;

· уравнение f (x) = g (x) может быть сведено к более простому и, самое главное, равносильному уравнению f ₁(x) = g ₁(x).

Равносильные уравнения: