|
|
|
|
|
Формула корней:
Разложение на линейные множители: ax2 + bx + c = a (x – x 1) (x – x 2)
Приведенное квадратное уравнение: x 2 + px + q = 0 | Теорема Виета: | x 1 + x 2 = - p x 1 × x 2 = q |
Примечание: m2 + n 2 = (m + n)2 – 2 mn; m 3 + n 3 = (m + n)3 – 3 mn (m + n).
Следовательно, x 12 + x 22 = p 2 – 2 q; x 13 + x 23 = p 3 + 3 pq
Эквивалентное уравнение: ax2 + bx + c = 0 Û y2 + by + c × a = 0 Þ x 1 = y1 /a; x 2 = y 2 /a
Однородное уравнение 2-го порядка относительно выражений и :
. При решении однородного уравнения рассматривают два случая:
- Если = 0, то и = 0, то есть получим систему
- Если , то, разделив все члены уравнения на , сократив получившиеся дроби и, заменив одинаковые выражения новой переменной, составим систему, содержащую квадратное уравнение с новой переменной:
Уравнение n-го порядка = 0
Имеется два основных метода решения: метод разложения на множители и метод введения новой переменной. При решении уравнений высших степеней используются теоремы:
|
|
- Если все коэффициенты многочлена P (x) = - целые числа и если x = a - целочисленный корень многочлена P (x), то число a является делителем свободного члена многочлена P (x).
- Если x = a - корень многочлена P (x), то P (x) делится без остатка на двучлен x - a.
- Если приведенное уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень, то этот корень обязательно является целым числом.
- Если коэффициент при старшей степени многочлена P (x) равен 1, целый корень многочлена P (x) является делителем свободного члена многочлена P (x) - .
- Если многочлен P (x) имеет рациональный корень , является делителем свободного члена многочлена P (x) - , а является делителем старшего коэффициента многочлена P (x) - .
Решение дробно-рациональных уравнений вида , в общем случае сводится к решению целых уравнений вида при условии .
Схема Горнера
Если , , , то при делении на частное имеет вид , где , , . Остаток r находится по формуле
…. | ||||||
Корни многочлена
Корень многочлена - число , такое, что
Число - k -кратный корень многочлена , если .
Если число является k -кратным корнем многочлена , то при k> 1 оно будет (k - 1)-кратным корнем первой производной этого многочлена; при k = 1 число не является корнем производной.
Формула Виета
Если = 0, и - корни уравнения = 0, то корни можно подобрать по формуле Виета .